精确表达浮点数 编程之美
2012-12-11 16:23
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以下内容转载自编程之美
【问题描述】:
在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如:
0.9 = 9/10
0.333(3)= 1/3(括号中的数字表示是循环节)
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:
0.333(3)= 1/3 = 3/9
给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……
解法:
拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2…an,要么为无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm),X表示式中的字母a1a2…an,b1b2…bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2…bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X=0.a1a2…an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2…an)/10n。
对于无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:
X= 0.a1a2…an(b1b2…bm)
10n*
X= a1a2…an.(b1b2…bm)
10n*
X= a1a2…an+0.(b1b2…bm)
X =(a1a2…an+0.(b1b2…bm))/10n
对于整数部分a1a2…an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:
令Y=0. b1b2…bm,那么
10m
*Y=b1b2…bm.(b1b2…bm)
10m
*Y=b1b2…bm+0.(b1b2…bm)
10m
*Y-Y=b1b2…bm
Y= b1b2…bm/(10m-1)
将Y代入前面的X的等式可得:
X=(a1a2…an+Y)/10n
=(a1a2…an+
b1b2…bm/(10m-1))/10n
=((a1a2…an)*(10m-1)+(b1b2…bm))/((10m-1)*10n)
至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化为(A/Gcd(A,B))/(B/Gcd(A,B)),其中Gcd函数为求A和B的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。
综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:
0.3(33)
=(3 *(102-1)+
33)/((102-1)*10)
=(3*99+33)/990
= 1 / 3
对于小数0. 285714(285714),我们也可以算出:
0. 285714(285714)
= (285714 *(106-1)+
285714)/
((106-1)*106)
= (285714*999999 +285714)/ 999999000000
= 285714 / 999999
= 2/7
以下给出代码:
【问题描述】:
在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如:
0.9 = 9/10
0.333(3)= 1/3(括号中的数字表示是循环节)
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:
0.333(3)= 1/3 = 3/9
给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……
解法:
拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2…an,要么为无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm),X表示式中的字母a1a2…an,b1b2…bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2…bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X=0.a1a2…an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2…an)/10n。
对于无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:
X= 0.a1a2…an(b1b2…bm)
10n*
X= a1a2…an.(b1b2…bm)
10n*
X= a1a2…an+0.(b1b2…bm)
X =(a1a2…an+0.(b1b2…bm))/10n
对于整数部分a1a2…an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:
令Y=0. b1b2…bm,那么
10m
*Y=b1b2…bm.(b1b2…bm)
10m
*Y=b1b2…bm+0.(b1b2…bm)
10m
*Y-Y=b1b2…bm
Y= b1b2…bm/(10m-1)
将Y代入前面的X的等式可得:
X=(a1a2…an+Y)/10n
=(a1a2…an+
b1b2…bm/(10m-1))/10n
=((a1a2…an)*(10m-1)+(b1b2…bm))/((10m-1)*10n)
至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化为(A/Gcd(A,B))/(B/Gcd(A,B)),其中Gcd函数为求A和B的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。
综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:
0.3(33)
=(3 *(102-1)+
33)/((102-1)*10)
=(3*99+33)/990
= 1 / 3
对于小数0. 285714(285714),我们也可以算出:
0. 285714(285714)
= (285714 *(106-1)+
285714)/
((106-1)*106)
= (285714*999999 +285714)/ 999999000000
= 285714 / 999999
= 2/7
以下给出代码:
void Cal(char* str) { char *p=str; char *q=str,*q1=str;//q和q1分别存储(和)的指针 while(*p!='\0') { if(*p=='(') { q=p; } if(*p==')') { q1=p; } p++; } if(q==q1) { cout<<"有限小数"<<endl; p=str+2; char *t=(char*)malloc(sizeof(char)*(strlen(str)-1)); memset(t,0,sizeof(char)*(strlen(str)-1)); int i=0; while(i<strlen(str)-1) { *(t+i++)=*p++; } cout<<atoi(t)<<"/"<<pow((float)10,(float)i)<<endl; delete t; return; } else//有循环小数 { int len1=q1-q-1; int len2=q-str-2; char *str1=(char*)malloc(sizeof(char)*(len1+1));//循环小数 char *str2=(char*)malloc(sizeof(char)*(len2+1));//非循环小数 memset(str1,0,len1+1); memset(str2,0,len2+1); int i=0; while(i<len1) { *(str1+i)=*(q+i+1); i++; } i=0; while(i<len2) { *(str2+i)=*(str+2+i++); } int t1=atoi(str1);//循环小数 int t2=atoi(str2);//非循环小数 int m=len1; int n=len2; cout<<t1+t2*(pow((float)10,(float)m)-1)<<"/"<<((pow((float)10,(float)m)-1)*pow((float)10,(float)n))<<endl; delete str1; delete str2; } } int main() { char str[]="0.333(3)"; Cal(str); return 0; }
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