素数筛法的复杂度

素数筛法的复杂度

Xie Xie给我看了一个链接性能调优--永远超乎想象，里面提到了素数筛法的复杂度，作者用实验发现此筛法是线形的。

所谓素数筛法就是那个求小于n的所有素数最简单的算法：

bool* prime(int n) {
bool *p = new bool
;
memset(p, 0, sizeof p);
for (int i = 2; i < n; i++)
if (!p[i])
for (int j = 2*i; j < n; j+=i)
p[j] = true;
return p;
}

此算法复杂度实际为 O(∑p<nn/p)=O(nloglogn) 。在可以测试的范围内，的确是接近线形的，虽然实际上不是。下面是如何估计 ∑1p :

loglog∞===<=ln(∑n=1∞1n)=ln⎛⎝∏p11−p−1⎞⎠=∑pln(11−p−1)=∑p−ln(1−p−1)∑p(1p+12p2+13p3+⋯)=⎛⎝∑p1p⎞⎠+∑p1p2(12+13p+14p2+⋯)∑p(1p+12p2+13p3+⋯)=⎛⎝∑p1p⎞⎠+∑p1p2(12+13p+14p2+⋯)⎛⎝∑p1p⎞⎠+∑p1p2(1+1p+1p2+⋯)=⎛⎝∑p1p⎞⎠+⎛⎝∑p1p(p−1)⎞⎠⎛⎝∑p1p⎞⎠+C(1)(2)(3)(4)(5)

更精确的，

∑p<n1p=loglogn+Θ(1)

注意此估计可直接得出素数有无穷多个

。

但是纯O(n)的算法也不是没有，只不过需要增加辅助空间保存质数列表：

bool* prime(int n) {
bool *isp = new bool
;
bool *p = new p(int(2*n/log(n)+20));
memset(isp, 0, sizeof isp);
memset(p, 0, sizeof p);
int np = 0;
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (~isp(i)) p(np++) = i;
for (int j = 0; j < pn && p[j]*i < n; j++) {
isp[p[j]*i] = 1;
if(i%p[j] == 0) break;
}
}
delete p;
return isp;
}

这个算法的关键在于 if(i%pr[j] == 0) break;。它使得任何一个合数，只被它最小的质因数标记过一次。所以整个算法是线性的。但考虑到log(log(100000000))还不到3，故这个线性算法其实也只有理论上的价值罢了。

ps：如果仅筛去sqrt(n)内因子的倍数，也可以得到所有的素数。复杂度降低为n(loglogn -1)，实际上少了n步的操作。