SVM算法实现（一）

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关键字(keywords)：SVM 支持向量机 SMO算法 实现 机器学习   

      如果对SVM原理不是很懂的，可以先看一下入门的视频，对帮助理解很有用的，然后再深入一点可以看看这几篇入门文章，作者写得挺详细，看完以后SVM的基础就了解得差不多了，再然后买本《支持向量机导论》作者是Nello
Cristianini 和 John Shawe-Taylor，电子工业出版社的。然后把书本后面的那个SMO算法实现就基本上弄懂了SVM是怎么一回事，最后再编写一个SVM库出来，比如说像libsvm等工具使用，呵呵，差不多就这样。这些是我学习SVM的整个过程，也算是经验吧。

      下面是SVM的简化版SMO算法，我将结合Java代码来解释一下整个SVM的学习训练过程，即所谓的train训练过程。那么什么是SMO算法呢？

SMO算法的目的无非是找出一个函数f(x)，这个函数能让我们把输入的数据x进行分类。既然是分类肯定需要一个评判的标准，比如分出来有两种情况A和B,那么怎么样才能说x是属于A类的，或不是B类的呢？就是需要有个边界，就好像两个国家一样有边界，如果边界越明显，则就越容易区分，因此，我们的目标是最大化边界的宽度，使得非常容易的区分是A类还是B类。

在SVM中，要最大化边界则需要最小化这个数值：



w：是参量，值越大边界越明显

C代表惩罚系数，即如果某个x是属于某一类，但是它偏离了该类，跑到边界上后者其他类的地方去了，C越大表明越不想放弃这个点，边界就会缩小


代表：松散变量

但问题似乎还不好解，又因为SVM是一个凸二次规划问题，凸二次规划问题有最优解，于是问题转换成下列形式（KKT条件）：


…………(1)

这里的ai是拉格朗日乘子(问题通过拉格朗日乘法数来求解)

对于（a）的情况，表明ai是正常分类，在边界内部（我们知道正确分类的点yi*f(xi)>=0）

对于（b）的情况，表明了ai是支持向量，在边界上

对于（c）的情况，表明了ai是在两条边界之间

而最优解需要满足KKT条件，即满足（a）（b）（c）条件都满足

以下几种情况出现将会出现不满足：

yiui<=1但是ai<C则是不满足的,而原本ai=C

yiui>=1但是ai>0则是不满足的而原本ai=0

yiui=1但是ai=0或者ai=C则表明不满足的，而原本应该是0<ai<C

所以要找出不满足KKT的这些ai，并更新这些ai，但这些ai又受到另外一个约束，即



因此，我们通过另一个方法，即同时更新ai和aj，满足以下等式



就能保证和为0的约束。

利用yiai+yjaj=常数，消去ai，可得到一个关于单变量aj的一个凸二次规划问题，不考虑其约束0<=aj<=C,可以得其解为：


………………………………………(2)

这里

………………(3)

表示旧值，然后考虑约束0<=aj<=C可得到a的解析解为：


…………(4)



对于


那么如何求得ai和aj呢？

对于ai，即第一个乘子，可以通过刚刚说的那几种不满足KKT的条件来找，第二个乘子aj可以找满足条件


…………………………………………………………………………（5）

b的更新：


在满足条件：

下更新b。……………（6）

最后更新所有ai，y和b，这样模型就出来了，然后通过函数：


……………………………………………………（7）

输入是x，是一个数组，组中每一个值表示一个特征。

输出是A类还是B类。（正类还是负类）

以下是主要的代码段：

[java] view plaincopyprint?

/*
* 默认输入参数值
* C: regularization parameter
* tol: numerical tolerance
* max passes
*/ 
double C = 1; //对不在界内的惩罚因子 
double tol = 0.01;//容忍极限值 
int maxPasses = 5; //表示没有改变拉格朗日乘子的最多迭代次数 
 
/*
* 初始化a[], b, passes 
*/ 
 
double a[] = new double[x.length];//拉格朗日乘子 
this.a = a; 
 
//将乘子初始化为0 
for (int i = 0; i < x.length; i++) { 
    a[i] = 0; 
} 
int passes = 0; 
 
 
while (passes < maxPasses) { 
    //表示改变乘子的次数（基本上是成对改变的） 
    int num_changed_alphas = 0; 
    for (int i = 0; i < x.length; i++) { 
        //表示特定阶段由a和b所决定的输出与真实yi的误差 
        //参照公式(7) 
        double Ei = getE(i); 
        /*
         * 把违背KKT条件的ai作为第一个
         * 满足KKT条件的情况是：
         * yi*f(i) >= 1 and alpha == 0 (正确分类)
         * yi*f(i) == 1 and 0<alpha < C (在边界上的支持向量)
         * yi*f(i) <= 1 and alpha == C (在边界之间)
         * 
         * 
         * 
         * ri = y[i] * Ei = y[i] * f(i) - y[i]^2 >= 0
         * 如果ri < 0并且alpha < C 则违反了KKT条件
         * 因为原本ri < 0 应该对应的是alpha = C
         * 同理，ri > 0并且alpha > 0则违反了KKT条件
         * 因为原本ri > 0对应的应该是alpha =0
         */ 
        if ((y[i] * Ei < -tol && a[i] < C) || 
            (y[i] * Ei > tol && a[i] > 0))  
        { 
            /*
             * ui*yi=1边界上的点 0 < a[i] < C
             * 找MAX|E1 - E2|
             */ 
            int j; 
            /*
             * boundAlpha表示x点处于边界上所对应的
             * 拉格朗日乘子a的集合
             */ 
            if (this.boundAlpha.size() > 0) { 
                //参照公式(5) 
                j = findMax(Ei, this.boundAlpha); 
            } else  
                //如果边界上没有，就随便选一个j != i的aj 
                j = RandomSelect(i); 
             
            double Ej = getE(j); 
             
            //保存当前的ai和aj 
            double oldAi = a[i]; 
            double oldAj = a[j]; 
             
            /*
             * 计算乘子的范围U, V
             * 参考公式(4)
             */ 
            double L, H; 
            if (y[i] != y[j]) { 
                L = Math.max(0, a[j] - a[i]); 
                H = Math.min(C, C - a[i] + a[j]); 
            } else { 
                L = Math.max(0, a[i] + a[j] - C); 
                H = Math.min(0, a[i] + a[j]); 
            } 
             
             
            /*
             * 如果eta等于0或者大于0 则表明a最优值应该在L或者U上
             */ 
            double eta = 2 * k(i, j) - k(i, i) - k(j, j);//公式(3) 
             
            if (eta >= 0) 
                continue; 
             
            a[j] = a[j] - y[j] * (Ei - Ej)/ eta;//公式(2) 
            if (0 < a[j] && a[j] < C) 
                this.boundAlpha.add(j); 
             
            if (a[j] < L)  
                a[j] = L; 
            else if (a[j] > H)  
                a[j] = H; 
             
            if (Math.abs(a[j] - oldAj) < 1e-5) 
                continue; 
            a[i] = a[i] + y[i] * y[j] * (oldAj - a[j]); 
            if (0 < a[i] && a[i] < C) 
                this.boundAlpha.add(i); 
             
            /*
             * 计算b1， b2
             * 参照公式(6)
             */ 
            double b1 = b - Ei - y[i] * (a[i] - oldAi) * k(i, i) - y[j] * (a[j] - oldAj) * k(i, j); 

            double b2 = b - Ej - y[i] * (a[i] - oldAi) * k(i, j) - y[j] * (a[j] - oldAj) * k(j, j); 

             
            if (0 < a[i] && a[i] < C) 
                b = b1; 
            else if (0 < a[j] && a[j] < C) 
                b = b2; 
            else  
                b = (b1 + b2) / 2; 
             
            num_changed_alphas = num_changed_alphas + 1; 
        } 
    } 
    if (num_changed_alphas == 0) { 
        passes++; 
    } else  
        passes = 0; 
} 
 
return new SVMModel(a, y, b); 

/* * 默认输入参数值 * C: regularization parameter * tol: numerical tolerance * max passes */ double C = 1; //对不在界内的惩罚因子 double tol = 0.01;//容忍极限值 int maxPasses = 5; //表示没有改变拉格朗日乘子的最多迭代次数 /* * 初始化a[], b, passes */ double a[] = new double[x.length];//拉格朗日乘子 this.a = a; //将乘子初始化为0 for (int i = 0; i < x.length; i++) { a[i] = 0; } int passes = 0; while (passes < maxPasses) { //表示改变乘子的次数（基本上是成对改变的） int num_changed_alphas = 0; for (int i = 0; i < x.length; i++) { //表示特定阶段由a和b所决定的输出与真实yi的误差 //参照公式(7) double Ei = getE(i); /* * 把违背KKT条件的ai作为第一个 * 满足KKT条件的情况是： * yi*f(i) >= 1 and alpha == 0 (正确分类) * yi*f(i) == 1 and 0<alpha < C (在边界上的支持向量) * yi*f(i) <= 1 and alpha == C (在边界之间) * * * * ri = y[i] * Ei = y[i] * f(i) - y[i]^2 >= 0 * 如果ri < 0并且alpha < C 则违反了KKT条件 * 因为原本ri < 0 应该对应的是alpha = C * 同理，ri > 0并且alpha > 0则违反了KKT条件 * 因为原本ri > 0对应的应该是alpha =0 */ if ((y[i] * Ei < -tol && a[i] < C) || (y[i] * Ei > tol && a[i] > 0)) { /* * ui*yi=1边界上的点 0 < a[i] < C * 找MAX|E1 - E2| */ int j; /* * boundAlpha表示x点处于边界上所对应的 * 拉格朗日乘子a的集合 */ if (this.boundAlpha.size() > 0) { //参照公式(5) j = findMax(Ei, this.boundAlpha); } else //如果边界上没有，就随便选一个j != i的aj j = RandomSelect(i); double Ej = getE(j); //保存当前的ai和aj double oldAi = a[i]; double oldAj = a[j]; /* * 计算乘子的范围U, V * 参考公式(4) */ double L, H; if (y[i] != y[j]) { L = Math.max(0, a[j] - a[i]); H = Math.min(C, C - a[i] + a[j]); } else { L = Math.max(0, a[i] + a[j] - C); H = Math.min(0, a[i] + a[j]); } /* * 如果eta等于0或者大于0 则表明a最优值应该在L或者U上 */ double eta = 2 * k(i, j) - k(i, i) - k(j, j);//公式(3) if (eta >= 0) continue; a[j] = a[j] - y[j] * (Ei - Ej)/ eta;//公式(2) if (0 < a[j] && a[j] < C) this.boundAlpha.add(j); if (a[j] < L) a[j] = L; else if (a[j] > H) a[j] = H; if (Math.abs(a[j] - oldAj) < 1e-5) continue; a[i] = a[i] + y[i] * y[j] * (oldAj - a[j]); if (0 < a[i] && a[i] < C) this.boundAlpha.add(i); /* * 计算b1， b2 * 参照公式(6) */ double b1 = b - Ei - y[i] * (a[i] - oldAi) * k(i, i) - y[j] * (a[j] - oldAj) * k(i, j); double b2 = b - Ej - y[i] * (a[i] - oldAi) * k(i, j) - y[j] * (a[j] - oldAj) * k(j, j); if (0 < a[i] && a[i] < C) b = b1; else if (0 < a[j] && a[j] < C) b = b2; else b = (b1 + b2) / 2; num_changed_alphas = num_changed_alphas + 1; } } if (num_changed_alphas == 0) { passes++; } else passes = 0; } return new SVMModel(a, y, b);

运行后的结果还算可以吧，测试数据主要是用了libsvm的heart_scale的数据。

预测的正确率达到73%以上。

如果我把核函数从线性的改为基于RBF将会更好点。

最后，说到SVM算法实现包，应该有很多，包括svm light，libsvm，有matlab本身自带的svm工具包等。

另外，完整的代码，我将上传到CSDN下载地址上提供下载。

点击这里下载。

如理解有误敬请指正！谢谢！

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