Nim Game （博弈论）

Nim 游戏类型

简介：

有两个玩家；

有n堆扑克牌（比如：有三堆，可以分别是 5，7，9张）；

游戏双方轮流操作；

玩家的每次操作是选择其中某一堆牌，然后从中取走任意张；

最后一次取牌的一方为获胜方；



定义P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”，现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position，也就是“先手可保证必胜”。

x更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；2.可以移动到P-position的局面是N-position；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position.



nim-sum :

定义: 假设 (xm · · · x0)2 和(ym · · · y0)2 的nim-sum是(zm · · · z0)2,则我们表示成 (xm · · · x0)2 ⊕ (ym · · · y0)2 = (zm · · · z0)2, 这里，zk = (xk + yk) mod 2（k=0…m）.

亦即异或运算。

按位异或运算符"^"是双目运算符。其功能是将参与运算的两操作数各对应的二进制位进行异或操作。只有对应的两个二进位不相同时，结果的对应二进制位才是 1，否则为 0。

例如：表达式“21 ^ 18 ”的值是 7(即二进制数 111)。

异或运算的特点是： 如果 a^b=c， 那么就有 c^b == a 以及 c^a==b。



结论：

对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position（必败点）当且仅当 a1^a2^...^an=0 反之，当a1^a2^...^an != 0 时是N-position（必胜点）.



根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题： // 证明的重点

1、这个判断将所有terminal position判为P-position；

2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；

3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position



证明1：结束位置(terminal position) 必然是P点（必败点）

证明2：对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an != 0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an = 0。

取出ai： 设： a1 ^ a2 ^ ... ^ ai-1 ^ ai+1 = k 将k转换成二进制不为零的数。 则定可找出一个 ai* 使k(2) ^ ai 变为 0. ai -> ai* （即合法的移动一步）

证明3： 对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。

假设成立，则有 a1 ^ a2 ^...^ ai ^ ... ^ an = 0 且 a1 ^ a2 ^...^ ai* ^ ... ^ an = 0

因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai*^...^an可以得到ai=ai*。所以将ai改变成ai*不是一个合法的移动。