数学中的单子（Monad0是什么？

大约在十六世纪后期，大数学家莱布尼兹（Leibniz)杜撰出单子这个词汇，意思是“non-composite,immaterial,
soul-like entities”（不可合成、想象中的一种精神般的“实体”），很抽象费解。但是，用在非标准微积分里面却是很容易定义的对象：实数r的单子定义如下：

Monad(r) = {x┃x∈*R∧ x≈r}
这里，符号“≈”表示无限接近的意思，而符号“∧”代表逻辑连接符“And”。由此可见，单子的超实数系*R里面的一种极微小的“集合”，在标准实数系R里面根本看不见它们的“形体”，此时，单子就退化为一个”几何点“。
单子有什么特性呢？很明显，两个单子不能”相交“，一旦有实体接触（交集不为空集）就会立即重合在一起（想一想，为什么？）。设想，一个物理”质点“在做直线运动，我们不妨把物理”质点“想象为是一个数学”单子“。当这个单子运动到某一点时，会发生一种”瞬间跳动“，极为迅速地跳跃到这个固定点。然后，又在同一瞬间，突然”跳动“一下，离开这个位置。运动中的物理质点，在同一个瞬间，既在某一点，又不在某一点。对于小学生是容易理解的。
由此，我们容易想象二维单子，三维单子的形象。在物理容器中，容易想象充满单子的景象。三维单子一旦发生实体碰撞，就会立即“湮灭”，两者”合二而一“。于是，就要计算瞬时位移∆s与瞬间时间间隔∆t之比，即∆s/∆t，然后取其标准部分即可，也就是说，st(∆s/∆t)。
有人似乎认为，非标准微积分要替代标准微积分。我们说不对。因为，在证明任何有限超实数存在唯一的标准部分时，我们用到了实数系的”完备性“。如果没有标准分析也就不会有非标准分析，两者都是物理“连续统”的数学模型，缺一不可。现模型理论已经证明：一个一阶逻辑命题在*R中成立的充分必要条件是其在标准实数系R里面也成立。我们搞超实数系*R，不是想用*R来否定标准实数系，而是相辅相成。
有人也许会说，在我们国内有几十万数学教师，有谁懂得这一套？明天下午，有一位上海老朋友来看我。我们准备聊聊网上”课堂“的未来前景。此刻，我想起一件事情：赶快登录乌托邦（不是乌托）网站，演示网上”课堂“，看看非标准微积分应该怎么具体教法。非标准微积分并不难学习，甚至”一点就破“。到时候，你上网学学不就行了吗？且听下回分解也。