【算法导论】22.2-7 树的直径问题

树的直径是指树的最长简单路。求法: 两遍BFS :先任选一个起点BFS找到最长路的终点，再从终点进行BFS，则第二次BFS找到的最长路即为树的直径；
原理: 设起点为u,第一次BFS找到的终点v一定是树的直径的一个端点
证明: 1) 如果u 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，则必定存在另一个点w使得u到w的距离更长，则于BFS找到了v矛盾)
         2) 如果u不是直径上的点，则u到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了
         所以v一定是直径的一个端点，所以从v进行BFS得到的一定是直径长度

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define N 7
#define INFINITE 0x7fffffff
#define WHITE 1
#define GRAY 2
#define BLACK 3

//顶点结点结构
struct Vertex
{
Vertex * next;/*指向下一个顶点*/
int id;/*节点的标志*/
int color;//颜色
Vertex *p;//指向遍历结果的父结点
int d;//与源点之间的距离
Vertex():next(NULL),id(0),color(WHITE),p(NULL),d(INFINITE){}
};

//图结构
struct Graph
{
Vertex *Adj[N+1];//N个顶点
Graph()
{
for(int i = 1; i <= N; i++)
Adj[i] = new Vertex;
}
~Graph()
{
for(int i = 1; i <= N; i++)
delete Adj[i];
}
};
std::queue<int>Q;/*队列，保存搜索过程的中间数据*/
int c_node;/*当前遍历的节点*/
void Print(Graph *g);
bool Init(Graph *g);
bool InsertEdge(Graph *g , int start,int end);
void PaintColor(Graph *g,int vertex,int color);

//插入边
bool InsertEdge(Graph *g , int start,int end)
{
Vertex* v = new Vertex();
v->id = end;
if(g->Adj[start]->next == NULL)
{/*如果不存在临界表的头结点列表中，则插入*/
Vertex* s = new Vertex();
s->id = start;
g->Adj[start] = s;
}
Vertex* tmp = g->Adj[start];
while(tmp->next)
{
tmp = tmp->next;
}
tmp->next =v;
return true;
}

/*初始化邻接表表示树，无向图。
1
/ \
2 3
/\ /\
4 5 6 7
*/
bool Init(Graph *g)
{
InsertEdge(g,1,2);
InsertEdge(g,2,1);
InsertEdge(g,1,3);
InsertEdge(g,3,1);
InsertEdge(g,2,4);
InsertEdge(g,4,2);
InsertEdge(g,2,5);
InsertEdge(g,5,2);
InsertEdge(g,3,6);
InsertEdge(g,6,3);
InsertEdge(g,3,7);
InsertEdge(g,7,3);

return true;
}
/*
宽度优先搜索，vertex为初试的节点
这种方法适合于无向图，如果是有向图会产生死循环
*/
bool BreadFirstSearch(Graph *g,int vertex)
{
//对所有结点进行初始化
for(int i = 1; i <= N; i++)
{
//g->Adj[i]->color = WHITE;
g->Adj[i]->d = INFINITE;
g->Adj[i]->p = NULL;
PaintColor(g,i,WHITE);
}
PaintColor(g,vertex,GRAY);
g->Adj[vertex]->d = 0;
g->Adj[vertex]->p = NULL;
while(!Q.empty())
{
Q.pop();
}
Q.push(vertex);
while(!Q.empty())
{ /*应该存储节点的ID，不应该是数据结构，可以节省存储空间*/
int node = Q.front();
c_node = node;
Vertex *v = g->Adj[node]; //Q.front();
Q.pop();
std::cout<<v->id<<"\t";
while(v)
{
if(v->color == WHITE)
{
PaintColor(g,v->id,GRAY);
g->Adj[v->id]->d = g->Adj[node]->d +1;
Q.push(v->id);
}
v = v->next;
}
PaintColor(g,node,BLACK);
}
return true;
}
/*
对临界表的节点染色
*/
void PaintColor(Graph *g,int vertex,int color)
{
g->Adj[vertex]->color = color;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
Vertex *v = g->Adj[i];
v = v->next;
while(v)
{
if(v->id == vertex)
{
v->color = color;
}
v = v->next;
}
}
}
/*
显示结果
1 2 3 4 5 6 7
7 3 1 6 2 4 5
4
*/
int main(int argc,char *argv[])
{
//构造一个空的图
Graph *g = new Graph;
Init(g);
BreadFirstSearch(g,1);
std::cout<<std::endl;
BreadFirstSearch(g,c_node);
std::cout<<std::endl;
/*最后的节点的深度即树的最大直径*/
std::cout<<g->Adj[c_node]->d<<std::endl;
getchar();
return 0;
}