每日一题(1)——滑雪问题(动态规划)

问题ID：POJ1088

滑雪

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Description
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

1  2  3  4 5

16 17 18 19 6

15 24 25 20 7

14 23 22 21 8

13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。
Input
输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。
Output
输出最长区域的长度。
Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

 

解决这个问题网上两种方法：

1.是利用动态规划的变形

求解从每个点出发的最长路径长度，

求解从每一个出发点最长路径过程就是一个不断求最优解的过程。

关键就是理解动态规划和递归的关系！

#include <iostream>

using namespace std;

int data[102][102], longest[102][102];
int m,n;

int cal(int i, int j)
{
int max = 0;//保存周围节点的最大长度，最优子问题的变形;
if (longest[i][j] > 0)
return longest[i][j];
if ( i-1>=0 && data[i][j]>data[i-1][j] && max<cal(i-1,j))
max = cal(i-1,j);
if ( j-1>=0 && data[i][j]>data[i][j-1] && max<cal(i,j-1))
max = cal(i,j-1);
if( i+1<m && data[i][j]>data[i+1][j] && max<cal(i+1,j))
max = cal(i+1,j);
if( j+1<n && data[i][j]>data[i][j+1] && max<cal(i,j+1))
max = cal(i,j+1);
return longest[i][j] = max+1;

}

int main()
{
int i,j;
int maxway = 0;

cin>>m>>n;
for (i=0; i<m; i++)
for (j=0; j<n; j++)
{
cin>>data[i][j];
longest[i][j] = 0;
}
for(i=0; i<m; i++)
for (j=0; j<n; j++)
{
longest[i][j] = cal(i,j);
if(maxway<longest[i][j])
maxway = longest[i][j];
}
cout<<maxway<<endl;
}

 

2.利用深度优先遍历，其实和方法1. 是一样的,

两种方法其实是一样的，第二种方法需要额外的多一些空间，计算容易出错，第一种方法比较好。

#include <iostream>

using namespace std;

int data[102][102], longest[102][102];
int m,n;

int max4(int a, int b, int c, int d)
{
if(a<b) a=b;
if(a<c) a=c;
if(a<d) a=d;
return a;
}

int dft(int i ,int j, int height)
{
if( data[i][j]==-1|| height<=data[i][j]) return 0;
if (longest[i][j] > 0)
return longest[i][j];
longest[i][j] = max4(dft(i-1, j, data[i][j]), dft(i,j-1,data[i][j]), dft(i+1,j,data[i][j]), dft(i,j+1,data[i][j]))+1 ;
return longest[i][j];
}

int main()
{
int i,j;
int maxway = 0;

memset(longest, -1, sizeof(longest));
memset(data, -1, sizeof(data));

cin>>m>>n;
for (i=1; i!=m+1; i++)
for (j=1; j!=n+1; j++)
{
cin>>data[i][j];
}
for(i=1; i!=m+1; i++)
for (j=1; j!=n+1; j++)
{
longest[i][j] = dft(i,j,data[i][j]+1);
if(maxway<longest[i][j])
maxway = longest[i][j];
}
cout<<maxway<<endl;
}

 

这道题关键就是递归调用子函数的最优解。在本题中就是使用小于当前高度的邻接点的最长路径。