跳台阶问题

问题：

一个人上台阶，台阶有n级，他可以一次上1级，可以一次上2级，也可以一次上3级，问上这个n级的台阶一共有多少种上法。

分析：

若台阶只有1级，那么他一次就可以上去，很显然，上法只有1种；

若台阶有2级，那么他可以1-1，也可以直接上到2级，这时一共有2种上法；

若台阶有3级，那么他可以1-1-1，可以1-2，可以2-1，也可以直接上到3，这样一共有4种上法；

若台阶为4级，那么他可以1-1-1-1，可以1-1-2，可以1-2-1，可以2-1-1，可以1-3，可以3-1，也可以2-2，一共有7种上法；

通过简单的分析，我们发现台阶数为4的时候，其上法等于1+2+4，也就是台阶数为1,2,3的上法的总和，依次类推。

一般情况下，我们把n级台阶的跳法写成n的函数f(n)。当n大于等于4时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，即若要跳到n级台阶等于从n-1级台阶再跳1级，或从n-2级台阶再跳2级，或者从n-3级台阶再跳3级。

状态转移方程：

f(n)= 1 n=1

f(n)= 2 n=2

f(n)= 4 n=3

f(n)= f(n-1)+f(n-2)+f(n-3) n>=4

有了这个状态转移公式，并且满足动态规划的条件（最优子结构，无后效性等），就能用动态规划来求解。

代码：

#include <iostream>
#define MAX 1000

using namespace std;

int main()
{

int n, i=0;
int step[MAX];

step[0]=1;
step[1]=2;
step[2]=4;

cout<<"input the steps :";
cin>>n;
if(n<=3&&n > 0)
{
cout<<"we need "<<step[n - 1]<<" steps"<<endl;
}
else
{
for(i=3;i<=n;i++)
{
step[i]=step[i-1]+step[i-2]+step[i-3];
}
cout<<"we need "<<step[n - 1]<<" steps"<<endl;
}
return 0;

}