小学数学题真难之二：鸡兔同笼

Kaiwii题记：

1、使用后记的方法比较好！！！！！！！

还是小学四年级的数学题：

王师傅有2元、5元、10元的人民币共118张，总计500元。其中5元与10元的张数相等。求三种人民币各多少张？

这是一道典型的鸡兔同笼问题。鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就有如下的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

此类问题如果运用列方程组的方法求解是比较简单的，但如果不准使用方程组，则要动一番脑筋了。

对本文开头提出的人民币问题，可以这样来思考：

1. 首先考虑极端的情况：500元中如果全部是2元币，则需要250张；如果全部是5元币和10元币，则需要33套（由于5元与10元的张数相等，所以按套来计算，每套含5元和10元币各一张，计15元），共66张人民币，计15*33 = 495元，接近500元；

2. 两种极端情况所需人民币的张数分别是250张、66张，与已知的“118张”相距甚远，解决的方法是“大钱换小钱”，即从33套的大钱中取出若干套换成2元币，就能使总张数逐步接近已知的“118张”。注意到全部33套大钱的总价值只有495元，所以换钱之前，先将不足的5元与1套大钱（15元）合起来（共20元）换成10张2元币。也就是说，这时的500元由74张人民币构成：32套大钱（10元币32张、5元币32张）和2元币10张，并将此定义为“初始状态” ；

3. 下面，我们就要在总钱数500元不变的前提下进行“大钱换小钱”的操作。

由于一套大钱只有15元，换2元币会有1元的零头，所以必须以两套大钱（30元）作为一个兑换单位。

每两套大钱（30元）可以兑换成2元币15张，相对于“初始状态”而言，这时大钱的张数会减少4张，但小钱张数却增加15张，两两相抵，每兑换一次的总张数会净增11张。所以

（ 已知118张 — 初始74张 ）/ 每次净增11张 = 44/11 = 4 ( 次 )

即需要进行4次“大钱换小钱”的操作。

至此，大钱已经由初始的32套变成24套（换了4次，每次两套），2元币的小钱也由初始的10张变为现在的70张（换了4次，每兑换一次2元币会增加15张）。所以最终的结果就出来了：

2元币70张，计140元；5元币24张，计120元；10元币24张，计240元。

总共118张、500元。

后记：

本题在网上还找到另一种解法，为了便于理解，特加工整理如下：

1. 先设定一个“初始状态” ：

先将118张人民币“大致”分成三份，譬如“平均分配” 。由于118 / 3 = 39......1，所以可假定5元和10元各39张，2元40张，并定义这就是“初始状态” 。

此时总的张数是118，但总钱数为

（5+10）*39 + 40*2 = 665元

多出了665-500=165元；

2.换钱：

注意以下的换钱操作是在总张数保持不变的前提下进行的。

从所有的钱里取出5元和10元各一张，换回两张2元的，其中的差价15-2*2=11元就是净减少的钱数。也就是说，这样换一次钱可以使总钱数减少11元。

由于“初始状态”下总钱数多出了165元，要使这多出来的钱“消失”，就必须不断地重复上述换钱的操作。

既然换一次钱可以使总钱数减少11元，所以必须换165 / 11 = 15 次。

3. 从“初始状态”经过15 次换钱操作以后，5元币和10元币各剩下39-15 = 24张，而2元币则增加到40 + 15*2 = 70张。此时

2元币70张，计140元；5元币24张，计120元；10元币24张，计240元。

总共118张、500元。

分析以上两种解法不难发现，其共同点是都设定了一个“初始状态”、并在此基础上不断地“大钱换小钱” ，唯一不同的是在换钱的过程中，前者是保持总钱数不变，而后者是保持总张数不变，这也算是殊途同归吧！