数论——拆分数++母函数模版

首先，我们引进一个小小概念来方便描述吧，record
[m]是把自然数划分成所有元素不大于m的分法，例如：

当n=4，m=1时，要求所有的元素都比m小，所以划分法只有1种：{1，1，1，1}；

当n=4，m=2时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有3种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2}；

当n=4，m=3时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有4种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1}；

当n=4，m=5时，。。。。。。。。。。。。。。。。只有5种{1，1，1，1},{2，1，1}，{2，2},{3,1},{4}；

从上面我们可以发现：当n==1||m==1时，只有一种分法；

当n<m时，由于分法不可能出现负数，所以record
[m]=record

;

当n==m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就只有一种{m}，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record

=1+record
[n-1];

当n>m时，那么就得分析是否要分出m这一个数，如果要分那就{{m},{x1,x2,x3..}}时n-m的分法record[n-m][m]，要是不分，那就是把n分成不大于m-1的若干份；即record
[m]=record[n-m][m]+record
[m-1];

那么其递归式：

record
[m]= 1 (n==1||m==1)

record

(n<m)

1+record
[m-1] (n==m)

record[n-m][m]+record
[m-1] (N>m)

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把加法变为幂运算

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来接吻这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。



以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数（没有顺序）：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

母函数模版/article/5479354.html

//made by syx
//time 2010年9月11日 10:17:27
//母函数例题

/*//整数拆分模板
#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;
//c1是用来存放展开式的系数的，而c2则是用来计算时保存的，
//他是用下标来控制每一项的位置，比如 c2[3] 就是 x^3 的系数。
//用c1保存，然后在计算时用c2来保存变化的值。
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{
int n, i, j, k ;
// 计算的方法还是模拟手动运算，一个括号一个括号的计算，
// 从前往后
while ( cin>>n ){
//对于 1+x+x^2+x^3+ 他们所有的系数都是 1
// 而 c2全部被初始化为0是因为以后要用到 c2[i] += x ;
for ( i=0; i<=n; i++ ){
c1[i]=1;
c2[i]=0;
}
//第一层循环是一共有 n 个小括号，而刚才已经算过一个了
//所以是从2 到 n
for (i=2; i<=n; i++){
// 第二层循环是把每一个小括号里面的每一项，都要与前一个
//小括号里面的每一项计算。
for ( j=0; j<=n; j++ )
//第三层小括号是要控制每一项里面 X 增加的比例
// 这就是为什么要用 k+= i ;
for ( k=0; k+j<=n; k+=i ){
// 合并同类项，他们的系数要加在一起，所以是加法，呵呵。
// 刚开始看的时候就卡在这里了。
c2[ j+k] += c1[ j];
}
// 刷新一下数据，继续下一次计算，就是下一个括号里面的每一项。
for ( j=0; j<=n; j++ ){
c1[j] = c2[j] ;
c2[j] = 0 ;
}
}
cout<<c1
<<endl;
}
return 0;
}
这句 c2[j+k] += c1[j];的理解还要自己好好的体会体会啊！
*/

自己理解：对于（#式）   (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....

第一个for给c1 和 c2 赋值，把上面#式的第一个括号(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)的系数给放在c1中，

从而再次计算从 # 的第二个括号开始， 所以 i 就是代表的# 式第几个括号，

而 用程序模拟手工计算，就是先计算第一个括号与第二个括号计算，把结果放到c2中，

在把结果与第三个括号计算，把结果放到c2中，在和第四个括号计算，........

所以 j 就是指的已经计算出的各项的系数 ，比如第一次之后 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+... ， j=0指向1 ，

j=2 指向x ， .... ，而 k 就是指将要计算的那个括号中的项，因为第i个括号，中的指数为0 ， i ， 2i....所以 k要 + i ；

而结果 c2[j+k] += c1[j]; 就是把以计算出的 j项的系数和现在正在计算的括号的k项相乘，所以指数为j+k ，所以结果放到c2[j+k] 中 ，这就是这几个for的作用！

最后刷新下结果，下一组数据计算！

//整数拆分母函数模板
#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{ int n,i,j,k;
while (cin>>n)
{
//首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，
//把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
for (i=0;i<=n;i++)
{
c1[i]=1;
c2[i]=0;
}

//i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，
//上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
for (i=2;i<=n;i++)
{
//j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式
//里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4….)里，第j个就是x2*j.
for ( j=0;j<=n;j++)
for (k=0;k+j<=n;k+=i)//k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
c2[ j+k]+=c1[j];
//把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
for (j=0;j<=n;j++)
{
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
}
cout<<c1
<<endl;
}

return 0;
}