n个叶子节点的严格二叉树必有n-1个非叶子节点的证明

严格二叉树，这个定义就百度上有，维基百科都没查到。

严格二叉树的定义：如果一颗二叉树的每个非终端节点都有且仅有两棵子树，则称这颗二叉树为严格二叉树。摘自百度百科。

简单的说，没有度为1的结点的二叉树，被称之为严格二叉树。如下图就是一颗严格二叉树。





下图就不是一棵严格二叉树，因为结点5,9的度数都是1.





首先证明一个问题，对于有n个叶子的严格二叉树，必定有n-1个非叶子节点。即严格二叉树中，度数为0的叶子节点有n个，那么度数为2的节点数必定为n-1个。不论树的形态是怎样。

用数学归纳法证明。

对于只有2个叶子的严格二叉树，那只有1个根结点。

如下图：





假设有k个叶子的严格二叉树有k-1个非叶子节点，那么对k+1个叶子节点的严格二叉树，

就相当于在k个叶子的严格二叉树上再扩展加一个叶子。如下图是一个有着k个叶子节点的严格二叉树





要在上面的树上多出一个叶子节点，并且使之仍然是一颗严格二叉树，只能在任意一个叶子节点增加2个叶子节点，这样操作，会，减去原先的一个叶子节点，同时会多出一个非叶子节点。也就是说，总的来说会多一个叶子节点和一个非叶子节点。即原来的k个节点的严格二叉树，有k-1个非叶子节点。而k+1个节点的严格二叉树，会有k个非叶子节点。





因此对于k+1，也成立。

因此采用数学归纳法得到证明。
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