[动态规划]能量项链
2012-11-04 18:45
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NOIP2006 提高组 第一道
描述 Description
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入格式 InputFormat
输入文件energy.in的第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<N< span>时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式 OutputFormat
输出文件energy.out只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*109),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入 SampleInput [复制数据]
样例输出 SampleOutput [复制数据]
时间限制 TimeLimitation
各个测试点1s
先无视环,考虑一条链的情况,最后只剩下一个珠子,而且这个珠子一定是由两个珠子合并而来的。
假设这个珠子编号为k,那么必然由1..k-1号珠子合并之后的珠子与k..n号珠子合并的珠子得到。
这就有了区间动归的前提。
小范围数据模拟一下子,可以搞出具体的方程。
f[i,j]表示i..j号珠子合并的最大值。
f[i,i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2]
f[i,i]:=0
f[i,j]=f[i,k]+f[k+1,j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]
f[1,n]即为答案。
再来考虑环的情况
可以将1..n的环扩展为1..2n的链.
ans=max(dp(i,i+n-1))
var i,n,ans:longint;
a:array[1..200]of longint;
f:array[1..200,1..200]of longint;
function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;
function dp(i,j:longint):longint;
var k,s:longint;
begin
if i>j then exit;
if f[i,j]<>-1 then exit(f[i,j]);
s:=0;
for k:=i to j-1 do
s:=max(s,dp(i,k)+dp(k+1,j)+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
f[i,j]:=s;
exit(s);
end;
begin
fillchar(f,sizeof(f),-1);
readln(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
for i:=n+1 to 2*n do a[i]:=a[i-n];
for i:=1 to 2*n-1 do f[i,i]:=0;
for i:=1 to 2*n-2 do f[i,i+1]:=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
ans:=0;
for i:=1 to n do
ans:=max(ans,dp(i,i+n-1));
writeln(ans);
readln;readln;
end.
描述 Description
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入格式 InputFormat
输入文件energy.in的第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<N< span>时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式 OutputFormat
输出文件energy.out只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*109),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入 SampleInput [复制数据]
样例输出 SampleOutput [复制数据]
时间限制 TimeLimitation
各个测试点1s
先无视环,考虑一条链的情况,最后只剩下一个珠子,而且这个珠子一定是由两个珠子合并而来的。
假设这个珠子编号为k,那么必然由1..k-1号珠子合并之后的珠子与k..n号珠子合并的珠子得到。
这就有了区间动归的前提。
小范围数据模拟一下子,可以搞出具体的方程。
f[i,j]表示i..j号珠子合并的最大值。
f[i,i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2]
f[i,i]:=0
f[i,j]=f[i,k]+f[k+1,j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]
f[1,n]即为答案。
再来考虑环的情况
可以将1..n的环扩展为1..2n的链.
ans=max(dp(i,i+n-1))
var i,n,ans:longint;
a:array[1..200]of longint;
f:array[1..200,1..200]of longint;
function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;
function dp(i,j:longint):longint;
var k,s:longint;
begin
if i>j then exit;
if f[i,j]<>-1 then exit(f[i,j]);
s:=0;
for k:=i to j-1 do
s:=max(s,dp(i,k)+dp(k+1,j)+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
f[i,j]:=s;
exit(s);
end;
begin
fillchar(f,sizeof(f),-1);
readln(n);
for i:=1 to n do read(a[i]);
for i:=n+1 to 2*n do a[i]:=a[i-n];
for i:=1 to 2*n-1 do f[i,i]:=0;
for i:=1 to 2*n-2 do f[i,i+1]:=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
ans:=0;
for i:=1 to n do
ans:=max(ans,dp(i,i+n-1));
writeln(ans);
readln;readln;
end.
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