陶哲轩实分析 命题 7.4.1 证明
2012-11-02 19:37
302 查看
设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数.并设$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$是双射.那么$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$也收敛.并有同样的和
$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$
证明:因为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数,所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,存在相应的自然数$N$,使得$\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n<\varepsilon$.
因为$f$是双射,所以存在自然数$M$,使得$\displaystyle (a_n)_{n=0}^{N}$是$(a_{f(m)})_{m=0}^{M}$的子集合.所以$\displaystyle\sum_{m=M+1}^{\infty}(a_{f(m)})<\varepsilon$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$收敛.
至于$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$是因为无论$N$多么大,$\displaystyle\sum_{m=0}^{N}a_{f(m)}$总会不大于$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$不大于$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_n$.同理,可证$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$不大于$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$.
所以$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$
$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$
证明:因为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是收敛的非负实数级数,所以对于任意给定的正实数$\varepsilon$,存在相应的自然数$N$,使得$\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n<\varepsilon$.
因为$f$是双射,所以存在自然数$M$,使得$\displaystyle (a_n)_{n=0}^{N}$是$(a_{f(m)})_{m=0}^{M}$的子集合.所以$\displaystyle\sum_{m=M+1}^{\infty}(a_{f(m)})<\varepsilon$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$收敛.
至于$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$是因为无论$N$多么大,$\displaystyle\sum_{m=0}^{N}a_{f(m)}$总会不大于$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$.因此$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$不大于$\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}a_n$.同理,可证$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$不大于$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}$.
所以$$\sum_{m=0}^{\infty}a_{f(m)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n$$
相关文章推荐
- 陶哲轩实分析 命题 7.4.1 证明
- 陶哲轩实分析 命题 7.3.4 (Cauchy 准则) 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.4.3 (级数的重排) 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.4.3 (级数的重排) 证明
- 陶哲轩实分析 命题 8.2.6 证明
- 陶哲轩实分析 命题 8.2.6 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.2.5 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.2.5 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.18 证明
- 陶哲轩实分析 命题 7.2.14 (极限算律) 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.18 证明
- 陶哲轩实分析 命题 7.2.14 (极限算律) 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.1.11 (在有限集合上求和的基本性质) 证明
- 陶哲轩实分析 命题7.1.11 (在有限集合上求和的基本性质) 证明
- 陶哲轩实分析 命题 7.3.4 (Cauchy 准则) 证明
- 一个与矩形剖分有关的命题(二):直观的图论证明
- 3个数学命题的简单证明
- 陶哲轩实分析命题9.4.10:指数函数的连续性
- 证明任意两个正整数相等(伪命题)
- 数学归纳法证明任意两个正整数相等(伪命题)