陶哲轩实分析 习题 7.3.3

设$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$是绝对收敛的实数级数,使得$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|=0$.则对于每个自然数$n$,$a_n=0$.

证明：$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$绝对收敛，则$\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}|a_n|=0$.假若存在自然数$n_1$,使得$a_{n_1}\neq 0$,则$|a_{n_1}|>0$.由于$\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}|a_n|>|a_{n_1}|$.导致$\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N|a_n|>0$,即$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|>0$,矛盾.