陶哲轩实分析 命题 7.2.14 (极限算律) 证明
2012-11-02 15:28
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我只证明(a):
(a)如果$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数级数,收敛到$x$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是实数级数,收敛到$y$.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛至$x+y$的实数级数.
证明:$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛到$x$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_1$,都存在整数$N_1$,$\forall p,q\geq N_1$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qa_n|\leq\varepsilon_1$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛到$y$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_2$,都存在相应的整数$N_2$,使得$\forall p,q\geq N_2$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_2$.于是对于一切$p,q\geq\max\{N_1,N_2\}$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^q(a_n+b_n)|=|\sum_{n=p}^qa_n+\sum_{n=p}^qb_n|\leq|\sum_{n=p}^qa_n|+|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_1+\varepsilon_2$.因此$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛级数.
现在证明它收敛到$x+y$.由于$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$收敛,因此$$\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^N(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum _{n=m}^Na_n+\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^Nb_n=\sum_{n=m}^{\infty}a_n+\sum_{n=m}^{\infty}b_n$$
(a)如果$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数级数,收敛到$x$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$是实数级数,收敛到$y$.则$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛至$x+y$的实数级数.
证明:$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$收敛到$x$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_1$,都存在整数$N_1$,$\forall p,q\geq N_1$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qa_n|\leq\varepsilon_1$.$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}b_n$收敛到$y$,意味着对于一切给定的正实数$\varepsilon_2$,都存在相应的整数$N_2$,使得$\forall p,q\geq N_2$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_2$.于是对于一切$p,q\geq\max\{N_1,N_2\}$,$\displaystyle|\sum_{n=p}^q(a_n+b_n)|=|\sum_{n=p}^qa_n+\sum_{n=p}^qb_n|\leq|\sum_{n=p}^qa_n|+|\sum_{n=p}^qb_n|\leq\varepsilon_1+\varepsilon_2$.因此$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$是收敛级数.
现在证明它收敛到$x+y$.由于$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)$收敛,因此$$\sum_{n=m}^{\infty}(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^N(a_n+b_n)=\lim_{N\to\infty}\sum _{n=m}^Na_n+\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^Nb_n=\sum_{n=m}^{\infty}a_n+\sum_{n=m}^{\infty}b_n$$
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