编程之美－－找个符合条件的整数

题目：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0.

解决这个问题首先考虑对于任意的N，是否这样的M一定存在。可以证明，M是一定存在的，而且不唯一。

简单证明：因为



这是一个无穷数列，但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数，且s<t，有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有：


，所以



例如，取N＝3，因为10的任何非负次方模3都为1，所以循环节周期为1.有：



给定N，求M的方法：

方法一：给定N，令M从2开始，枚举M的值直到遇到一个M使得N*M的十进制表示中只有1和0.

方法二：求出10的次方序列模N的余数序列并找出循环节。然后搜索这个余数序列，搜索的目的就是要在这个余数序列中找到一些数出来让它们的和是N的倍数。例如N=13，这个序列就是1,10,9,12,3,4然后不断循环。很明显有1+12=13，而1是10的0次方，12是10的3次方，所以这个数就是1000+1=1001，M就是1001/13=77。

方法三：因为N*M的取值就是1,10,11,100,101,110,111,......所以直接在这个空间搜索，这是对方法一的改进。搜索这个序列直到找到一个能被N整除的数，它就是N*M，然后可计算出M。例如N=3时，搜索树如下：



上图中括号内表示模3的余数。括号外表示被搜索的数。左子树表示0，右子树表示1.上图中搜索到第二层（根是第0层）时遇到111，它模3余数为0.所以N*M=111, M=111/3=37。

方法四：对方法三的改进。将方法三的搜索空间按模N余数分类，使得搜索时间和空间都由原来的指数级降到了O(N)。改进的原理：假设当前正在搜索由0，1组成的K位十进制数，这样的K位十进制数共有2^k个。假设其中有两个数X、Y，它们模N同余，那么在搜索由0、1组成的K+1位十进制数时，X和Y会被扩展出四个数：10X, 10X+1, 10Y, 10Y+1。因为X和Y同余（同余完全可以看作相等），所以10X与10Y同余，10X+1与10Y+1同余。也就是说由Y扩展出来的子树和由X扩展产生出来的子树产生完全相同的余数，如果X比Y小，那么Y肯定不是满足要求的最小的数，所以Y这棵子树可以被剪掉。这样，2^K个数按照模N余数分类，每类中只保留最小的那个数以供扩展。原来在这一层需要搜索2^K个数，现在只需要搜索O(N)个数。例如，当N=9时，第0层是1(1)，



如上图所示，第2层的110，第三层的1010、1110都因为同一层有和它同余且更小的数而被剪掉。如果按照方法三搜索，第三层本来应该有8个结点，但现在只有4个结点。

方法一的源代码：

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#include <stdio.h>

int HasOnlyOneAndZero(unsigned int n) {

while(n) {

if(n % 10 >= 2) return 0;

n /= 10;

}

return 1;

}

int main() {

int n, m;

while(scanf("%d", &n) != EOF) {

for(m = 1;;m++) {

if(HasOnlyOneAndZero(n*m)) {

printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", n, m, n*m);

break;

}

}

}

return 0;

}

方法三的源代码：

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// 解法三(1):广度优先搜索

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <cstdio>

#include <queue>

using namespace std;

int main() {

int N;

while(scanf("%d", &N) != EOF) {

queue<int> q;

q.push(1);

while(!q.empty()) {

int t = q.front();

q.pop();

if(t % N == 0) {

printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t/N, t);

break;

}

q.push(t * 10);

q.push(t * 10 + 1);

}

}

return 0;

}

方法四源代码：

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// 解法四：将搜索空间分过类的广度搜索，这样空间占用是O(N)而不是

// 指数级。分类的原则是按照模N的余数分类　

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <cstdio>

#include <bitset>

#include <vector>

#include <queue>

using namespace std;

struct QNode {

int v, r; // v is value, r is remainder

QNode(int vv, int rr): v(vv), r(rr) {}

QNode(): v(0), r(0) {}

};

int main() {

int N;

while(scanf("%d", &N) != EOF) {

//bitset<N> bn;

queue<QNode> q;

q.push(QNode(1, 1));

while(!q.empty()) {

//bn.reset();

vector<bool> bn(N, false);

int s = q.size();

while(s--) {

QNode t = q.front();

if(t.r == 0) {

printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t.v/N, t.v);

goto ok;

}

q.pop();

if(!bn[t.r * 10 % N]) {

bn[t.r * 10 % N] = true;

q.push(QNode(t.v * 10, t.r * 10 % N));

}

if(!bn[(t.r * 10 + 1) % N]) {

bn[(t.r * 10 + 1) % N] = true;

q.push(QNode(t.v * 10 + 1, (t.r * 10 + 1) % N));

}

}

}

ok:;

}

return 0;

}