字符串匹配(string matching)算法之二：利用有限自动机

有限自动机:
一个有限自动机M是一个5元组(Q, q0,A,
Σ, δ),其中:
<!--[if !supportLists]-->·        <!--[endif]-->Q是状态的有限集合
<!--[if !supportLists]-->·        <!--[endif]-->q0∈
Q 初始状态
<!--[if !supportLists]-->·        <!--[endif]-->A⊆Q
是一个接受状态的集合
<!--[if !supportLists]-->·        <!--[endif]-->Σ有限的输入字母表
<!--[if !supportLists]-->·        <!--[endif]-->δ是从Q
× Σ 到Q的函数,称为M的转移函数(transition function )
有限自动机开始于状态q0,每次读入输入字符串的一个字符.
如果在状态q时读入输入字符a,则它从状态q变为δ(q,a).
当其当前状态q属于(接受状态的集合)A时,则说自动机M接受了迄今为止所读入的字符串.
没有被接受的输入称为被拒绝的输入.
有限自动机M可以推导出一个函数φ，称为终态函数。φ(w)是M在扫描字符串w后终止时的状态。

φ(ε)	=	q0,
φ(wa)	=	δ(φ(w),a) for w ∈ Σ*, a ∈ Σ.

因此， M接受字符串w当且仅当φ(w)∈
A
 
字符串匹配自动机
给定模式P[1
‥ m], 定义辅助函数σ数相应P的后缀函数.
函数σ是一个从Σ*到{0, 1, . . . ,m}上的映射:
σ(x)是x的后缀且是p的最长前缀的长度.
σ(x) is the length of the longest prefix ofP that is a suffix of
x:
σ(x) = max {k :Pk
⊐x}.
例如模式P =
ab, σ(ccaca) = 1, andσ(ccab) = 2
对一个长度为m的模式P来说,σ(x) =
m 当且仅当 P
⊐x
(P是x的后缀).
给定模式P[1..m], 其对应的字符串匹配自动机的定义如下:
<!--[if !supportLists]-->l       <!--[endif]-->状态集Q为{0,
1, …, m},初始状态q0,状态m是唯一的接受状态.
<!--[if !supportLists]-->l       <!--[endif]-->对任意的状态q和字符a,变迁函数δ的定义为:δ(q,
a) = σ(Pqa). (其中Pq是P的前缀P[1..q])
也就是把状态q设为当前已匹配的长度.
例如模式P=ababaca.   文本T=abababacaba.
有δ(5,b) = 4,
如果从状态q=5时自动机读入一个b,则Pqb=ababab,
于是ababab的后缀匹配P的最长前缀为P4=
abab.
（The longest prefix ofP that is also a suffix of
ababab is P4 =
abab）
 

//字符串匹配自动机

FINITE-AUTOMATON-MATCHER(T, δ, m)

1  n ← length[T]

2  q ← 0

3  for i ← 1 to n

4      do q ← δ(q, T[i])    //δ函数其实是一张表，预先计算出所有值，需要时查询

5         if q = m

6            then print "Pattern occurs with shift" i – m

匹配时间复杂度Θ(n).

//下面计算出δ函数

COMPUTE-TRANSITION-FUNCTION(P, Σ)

1 m ← length[P]

2 for q ← 0 to m

3     do for each character a ∈ Σ

4            do k ← min(m + 1, q + 2)

5               repeat k ← k - 1

6                 until Pk ⊐ Pqa

7               δ(q, a) ← k

8 return δ

时间复杂度O(m3 |Σ|)..还存在更快的过程。

 
附录:
用Σ*表示用字母表Σ中的所有有限长度的字符串的集合
长度为0的空字符串用ε表示，ε也属于Σ*
字符串前缀  后缀
如果某个字符串 y∈
Σ*，使得x＝wy，则称w是x的前缀,记为w⊏x
。如果w是x的后缀，记为w⊐x
《Introduction to Algorithms》-
CLRS