LCS最长公共子序列的延伸情况（可连续的子序列）

看过《算法导论》的人应该知道，动态规划中一个非常经典的例子就是LCS(Longest Common Length)最长公共子序列问题。下面我们来回顾一下LCS的概念。

假设有两个字符串，X=<A, B, C, B, D, A, B>，Y=<B, D, C, A, B, A>，那么它们的最长公共子序列为<B, C, B, A>，它的特点在于每个字符可以不连续。LCS问题在实际中也有非常多的应用，比如说用于论文查重等。

都说表达一个动态规划算法的精髓在于状态转移方程，那么我们就顺便回忆一下LCS的状态转移方程吧。如果用c[i, j]来表示序列Xi和Yi的LCS的长度，那么有状态转移方程：



下面进入本文的重点。如果将LCS的条件加严，要求子序列中的字符必须是连续的。那么应该如何求解这个最长公共连续子序列呢？

为了便于书写，后文中再提到“最长公共连续子序列”，我都一律用STRICT-LCS代替。

为了便于理解，还是用之前的两个字符串来举例说明什么是STRICT-LCS。X=<A, B, C, B, D, A, B>，Y=<B, D, C, A, B, A>。那么它们的最长公共连续子序列为<B, D>。

我们仍然用Dynamic Programming求解。只不过在原来的基础上需要改变。首先，我们定义c[i, j]跟原来的意义略有不同。这里c[i, j]指的是最后一个元素为Xi(=Yj)的STRICT-LCS的长度，比如X=<A, B, C>,Y=<A, B, D>那么c[3, 3]=0，不管前面如何，如果Xi和Yj不相等，就得将c[i, j]清零，作为新的开始。

LCS中，c[i, j]的值随着i、j值增大而渐渐增大，有累计效应；但是STRICT-LCS中，c[i, j]的值随时可能在某个时刻被清零。

说了这么多，把状态转移方程写出来吧：



伪代码的话，也比较简单。

STRICT-LCS-LENGTH(X, Y)
m = length[X]
m = length[Y]
for i = 1 to m
do c[i, 0] = 0
for j = 0 to n
do c[0, j] = 0
for i = 1 to m
do for j = 1 to n
do if Xi=Yj
then c[i, j] = c[i-1, j-1]+1
else c[i, j] = 0
return c

下面做一个显示推导过程的图。



从上图中可以找到值最大的格子2，故可知X和Y的最长公共连续子序列为BD，和AB，两个子序列的长度都为2.

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