数组划分 求划分结果的差值

问题描述：给定一个正整数数组a，大小为n，数组的每个元素取值于[0,1,...,K],K>0，将这个数组划分为两个集合A1和A2，使得这两部分元素和最小，S1为A1所有元素求和，S2为A2所有元素求和，即|S1-S2|最小。分析：由于数组中的元素都是正数，我们用SUM来表示数组a的所有元素的和，那么我们只要求一个集合，使得这个集合所有元素的和尽量接近SUM/2即可，我们用Q[i,j]表示用数组中任意的i个元素求和，和是否为j，如果是，那么Q[i,j]=1,否则Q[i,j]=0. 那么状态转移方程为：对于数组中的每个元素a[k]，如果j>=a[k]并且Q[i-1,j-a[k]]=1,那么Q[i,j]=1. 初始条件为Q[0,0]=1,其它都为0，最终我们只要从后（i=n,j=SUM/2）往前逐层遍历这个矩阵Q,找到第一个不为0的像，那么两个数组的差值为SUM-j-j (min|S1-S2|)即为所求.代码如下：（数组下标从1开始计算）


[code]

#include <iostream>
using namespace std;

void array_partition_solve_noBounds(int *a, int n)
{
int i=0,j=0,k=0;
int sum=0;
//求和
for(i=1; i<=n; i++)
{
sum += a[i];
}

//申请一个二维数组Q
bool ** Q = new bool*[n+1];
for(i=0; i<=n; i++)
{
Q[i] = new bool[sum/2+1];
}
for(i=0; i<=n; i++)
{
for(j=0; j<=sum/2; j++)
Q[i][j] = false;
}
Q[0][0] = true;

//给Q数组按照规矩赋值
for(k=1; k<=n; k++)
{
for(i=k; i>=1; i--)//Q中，将a[k]加入K列之前的所有列，看是否能够成功
for (j=a[k]; j<=sum/2; j++)//a[k]是否能够加入第i列，基于Q[i-1][j-a[k]]
{
if(Q[i-1][j-a[k]])
{
Q[i][j] = true;
}
}
}

//寻找满足条件的一个值
int index_i = 0;
int index_j = 0;
int flag = false;
for(j=sum/2; j>0; j--)
{
if(flag)
break;
for(i=n; i>0; i--)
{
if(Q[i][j])
{
index_i = i;
index_j = j;
flag = true;
}
}
}

cout<<"一个序列的和为："<<index_j<<endl;
cout<<"两个序列的差值为："<<sum - index_j -index_j<<endl;

bool *arry = new bool[n+1];//分别两个序列的数组
for(i=0; i<=n; i++)
{
arry[i] = false;
}
//寻找满足条件的一个序列
while (index_j>0)
{
for(k=1; k<=n; k++)
{//在第index_j行横向查找满足条件的一个值
if(index_j>=a[k] && Q[index_i-1][index_j-a[k]])
{
arry[k] = true;//在数组中记录该序列的值
index_j -=a[k];
index_i -=1;
break;
}
}
}

cout<<"两个序列分别为："<<endl;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if(arry[i])
{
cout<<a[i]<<" ";
}
}
cout<<endl;
for(i=1; i<=n; i++)
{
if(!arry[i])
{
cout<<a[i]<<" ";
}
}
cout<<endl;

for(i=1; i<=n; i++)
{
delete [] Q[i];
}
delete [] Q;
}

int main()
{
int a[] = {0,1,2,4,5,6,7,8};
array_partition_solve_noBounds(a,7);
return 0;
}

时间代价为O(SUM*n^2)

1、问题的变种：在原问题变为大小为2*n的数组，要求A1和A2都包含n个元素，那么如何划分使得|S1-S2|最小？
这个问题和上面的问题区别不大，主要是在给数组Q赋值的时候，有所变化即i的值为k和n的最小值，当然这里的k变化范围为【1,2*n】；和在Q中搜索解的时候，只在第n列寻找解。
2、问题的进一步扩展，如果原始数组中存在负数怎么办？

那么我们可以对数组进行预处理，给每个元素加上其中最大的那个负数的绝对值A，这样这个数组就成为一个正数的数组，那么利用上面的解法来求即可，只需要最后打印其中某个集合时候，要对每个元素再减去A。（这个题目是针对两个集合都是n个元素，原始数组是2*n个元素的变种。）

本文主要来自：/article/7111558.html
又加上了自己的一些理解，算转载吧，但是代码中还有注释没有说清楚，哎，文字功底有点苍白，有时间用图解咯。

还有一篇博客：/article/7931973.html