楼层扔鸡蛋问题

有限层数和蛋数，求即使最坏情况下需要的最少判断次数

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。（参见两个鸡蛋--一道Google面试题）

这是典型的动态规划问题。假设f
表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。

状态转移方程：f
= min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n }
初始条件: f[0]=0（或f[1]=1）

实际上，两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决，前提是你知道该怎么扔：

一种想法是第一个鸡蛋折半搜索，如100层的楼，先从50层扔下去，如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索；如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索；如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔，依此类推。这种方法不是最优，因为最坏情况下安全位置恰好是49层，需要尝试50次。

正确的方法是先假设最少判断次数为x，则第一个鸡蛋第一次从第x层扔（不管碎没碎，还有x-1次尝试机会）。如果碎了，则第二个鸡蛋在1～x-1层中线性搜索，最多x-1次；如果没碎，则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔（现在还剩x-2次尝试机会）。如果这次碎了，则第二个鸡蛋在x+1～x+(x-1)-1层中线性搜索，最多x-2次；如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔，依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x-2)+...+1=x(x+1)/2。

比如100层的楼，只要让x(x+1)/2>=100，得x>=14，最少判断14次。具体地说，100层的楼，第一次从14层开始扔。碎了好说，从第1层开始试。不碎的话还有13次机会，再从14+13=27层开始扔。依此类推，各次尝试的楼层依次为

14
27 = 14 + 13
39 = 27 + 12
...
99 = 95 + 4
100

现在推广成n层楼，m个鸡蛋：

还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。

状态转移方程：f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n }
初始条件：f[i,0]=0（或f[i,1]=i），对所有i

由上述解题思想：(1)动态规划递推式，(2)边界条件  可写出如下代码

#include <iostream>

using namespace std;
#define MAX 1<<29
#define maxdata(a,b) (a)>(b)?(a):(b)

int droppingeggspuzzle(int eggs,int floors)
{
int i,j,k,t,max;
int temp[eggs+1][floors+1];

//找出了边界条件
for(i=0;i<=floors;i++)  //第一个阶段  eggs = 0
temp[0][i] = 0,temp[1][i] = i;

//接下来的一些决策阶段的边界
for( i=2;i<=eggs;i++)
{
temp[i][0] = 0;
temp[i][1] = 1;
}

//对每一个子阶段 求解出最优的
for(i=2;i<=eggs;i++)
{
for( j=2; j<=floors ; j++)
{
for( k=1,max = MAX; k<j ;k++)
{
t = maxdata(temp[i][j-k],temp[i-1][k-1]);
if(max > t)
max = t;
}
temp[i][j] = max+1;
}
}
return temp[eggs][floors];
}

int main()
{
cout<< "Hello world!" << endl;
cout<<droppingeggspuzzle(3,100)<<endl;
return 0;
}