[hnoi2008]玩具装箱题解(斜率优化的dp)

[题目描述]

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个
常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

[题解]

     这道题很明显的是一道dp.方程为:f[i]=min(f[j]+(L-(i-j+1+s[i]-s[j]))^2);

    我们先令s[i]=s[i]+i,则:

f[i]=min(f[j]+(L-(s[i]-s[j]+1))^2);  

   =min(f[j]+(s[i]-s[j]+1-L)^2)

再令k=s[i]+1-L

f[i]=min(f[j]+(k-s[j])^2);

    =min(f[j]+k^2+s[j]^2-2*k*s[j]);

    =min(f[j]+s[j]^2-2*k*s[j])+k*k

     在这个方程中,f[j]和s[j]只跟j有关,k只跟i有关.

    令P=f[j]+s[j]^2-2*k*s[j],我们的目标就是最小化P.

    令x[i]=2*s[j],y[i]=f[i]+s[i]^2,则:P=y[j]-k*x[j],即:y[j]=k*x[j]+P

    如果我们将每个(x[j],y[j])都描绘在平面上,那么问题转化为:对n个点,求一个点,使得经过他的直线斜率为k时,截距最小.很明显,这个点在点集的下凸包上.

    因为k=s[i]+1-L,所以直线的斜率k单调递增.而x[i]=2*s[i],很明显也是单调递增的(这也是要将2*s[i]作为横坐标而不是纵坐标的原因),所以可以直接用一个单调队列来动态的维护点集的凸包选取最优决策.

      算是我写的第一道斜率优化,纪念一下.

Code:

program toy;
type int=int64;
var
l,r,i,n:longint;
j,k,m,aa,bb:real;
x,y:array[0..100000]of real;
a,s,g,f:array[0..100000]of real;
q:array[0..100000]of longint;
begin
read(n,m);
for i:=1 to n do begin
read(a[i]);s[i]:=s[i-1]+a[i];
end;
for i:=1 to n do s[i]:=s[i]+i;
l:=1;r:=1;q[1]:=0;s[0]:=0;f[0]:=0;x[0]:=0;y[0]:=0;
for i:=1 to n do begin
k:=s[i]-1-m;
while(l<r)and(2*k>(y[l]-y[l+1])/(x[l]-x[l+1]))do inc(l);
f[i]:=f[q[l]]-2*k*s[q[l]]+k*k+s[q[l]]*s[q[l]];
aa:=s[i];bb:=f[i]+s[i]*s[i];
while(l<r)and((y[r]-y[r-1])/(x[r]-x[r-1])>(bb-y[r])/(aa-x[r]))do dec(r);
inc(r);q[r]:=i;x[r]:=aa;y[r]:=bb;
end;
write(f
:0:0);
end.

数据类型用得有点乱.

BY QW
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