利用异或求解 N^N=0 N^0=N

1题:1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现 一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找       出来；不用辅助存储空 间，能否设计一个算法实现？
显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和。

这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。

而异或就没有这个问题，并且性能更好。

将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。

首先是异或运算满足交换律、结合律。

所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。

其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。

令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T

则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。

T^(T^n)=n。

所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

当然有人会说，1+2+...+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1^2^...^1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。