《陶哲轩实分析》引理6.7.1:(指数运算的连续性)
2012-10-09 16:44
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设$x>0$,并设$\alpha$是实数,设$(q_n)_{n=1}^{\infty}$是收敛到$\alpha$的有理数序列,那么$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$也是收敛序列.进而,如果$(q'_n)_{n=1}^{\infty}$也是收敛到$\alpha$的有理数序列,则
\begin{equation}
\label{eq:8.21.22}
\lim_{n\to\infty}x^{q_n}=\lim_{n\to\infty}x^{q'_n}
\end{equation}
证明:先证明$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.由于$(q_n)_{n=1}^{\infty}$收敛,因此存在实数$l$,使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得$\forall k>N$,$|q_k-l|<\varepsilon$.
由于当$x>1$时,若有理数$a>b$,则$x^a>x^b$.因此当$x>1$时,$x^lx^{-\varepsilon}=x^{l-\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l+\varepsilon}=x^lx^{\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0^{+}$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,这是因为如下结论:
设$x>1$,$k\in\mathbf{N}$,当$k\to\infty$时,$x^{\frac{1}{k}}\to 1$.
证明:即证,对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得当$p>N$时,便有$0<x^{\frac{1}{p}}-1<\varepsilon$.即$1<x^{\frac{1}{p}}<1+\varepsilon$.即证$1<x<(1+\varepsilon)^p$.根据伯努利不等式,$(1+\varepsilon)^p\geq 1+\varepsilon p$.而对于任意给定的正实数$\varepsilon$,当$p$足够大时,便有$\varepsilon p$大于任意给定的正实数(实数的阿基米德性).因此结论成立.
注:此結論即爲高木貞治的「高等微積分」第1.4節的例1.
由于当$\varepsilon\to 0^{+}$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见,当$\varepsilon\to 0$时,$x^{q_k}\to x^l$.因此$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.
当$x<1$时.由于当$x<1$时,若有理数$a>b$,则$x^a<x^b$.因此当$x<1$时,$x^{l+\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l-\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见$\varepsilon\to 0$时,$x^{l+\varepsilon},x^{l-\varepsilon}\to x^l$.因此$x^{q_k}\to x^l$.
当$x=1$时,命题是平凡的.
下面证明\ref{eq:8.21.22}式.这太容易了,因为我在上面其实就已经证明了,他们都收敛到$x^l$.
\begin{equation}
\label{eq:8.21.22}
\lim_{n\to\infty}x^{q_n}=\lim_{n\to\infty}x^{q'_n}
\end{equation}
证明:先证明$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.由于$(q_n)_{n=1}^{\infty}$收敛,因此存在实数$l$,使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得$\forall k>N$,$|q_k-l|<\varepsilon$.
由于当$x>1$时,若有理数$a>b$,则$x^a>x^b$.因此当$x>1$时,$x^lx^{-\varepsilon}=x^{l-\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l+\varepsilon}=x^lx^{\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0^{+}$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,这是因为如下结论:
设$x>1$,$k\in\mathbf{N}$,当$k\to\infty$时,$x^{\frac{1}{k}}\to 1$.
证明:即证,对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正整数$N$,使得当$p>N$时,便有$0<x^{\frac{1}{p}}-1<\varepsilon$.即$1<x^{\frac{1}{p}}<1+\varepsilon$.即证$1<x<(1+\varepsilon)^p$.根据伯努利不等式,$(1+\varepsilon)^p\geq 1+\varepsilon p$.而对于任意给定的正实数$\varepsilon$,当$p$足够大时,便有$\varepsilon p$大于任意给定的正实数(实数的阿基米德性).因此结论成立.
注:此結論即爲高木貞治的「高等微積分」第1.4節的例1.
由于当$\varepsilon\to 0^{+}$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见,当$\varepsilon\to 0$时,$x^{q_k}\to x^l$.因此$(x^{q_n})_{n=1}^{\infty}$收敛.
当$x<1$时.由于当$x<1$时,若有理数$a>b$,则$x^a<x^b$.因此当$x<1$时,$x^{l+\varepsilon}<x^{q_k}<x^{l-\varepsilon}$.当$\varepsilon\to 0$时,$x^{\varepsilon}\to 1$,因此$x^{-\varepsilon}\to 1$.可见$\varepsilon\to 0$时,$x^{l+\varepsilon},x^{l-\varepsilon}\to x^l$.因此$x^{q_k}\to x^l$.
当$x=1$时,命题是平凡的.
下面证明\ref{eq:8.21.22}式.这太容易了,因为我在上面其实就已经证明了,他们都收敛到$x^l$.
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