01背包问题

问题：

有 N 件物品和一个容量为 M 的背包。第 i 件物品的体积是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：

这个问题的难点在于它有很多种组合情况，所以，这个问题看似很难在 polynomial 时间内找出最优解。但是，我们的确可以在polynomial时间内找出来。

思路如下：

对于问题本身，背包的容量是物品的个数是固定，但是我们现在假设（只是假设）只有一个物品，它的价值是 5，体积是4。当背包的容量从0到9增加的时候，我们发现，当背包的体积小于4的时候，这个物品是无法放下去的，但是，当背包容量大于等于4的时候，该物品可以放下去，这个时候，背包的价值是
5. 如下表：

容积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
价值	0	0	0	0	5	5	5	5	5	5

如果我们现在多了一个物品，它的价值是6，体积是5，这个时候，我们同样假设背包的容量从0到9增加。那么，当背包容积小于4的时候，背包的价值是0，因为任何一个物品都放不进去，但是，当背包容积是4的时候，我们可以把物品1放进去，当背包容积是5的时候，我们把物品1取出来，把物品2放进去。为什么呢？因为对于物品2，我们可以选择放，或者不放。如果不放，背包的价值等于它当前的价值，如果放物品2的话，那么我们就要考虑对于放入物品2后，背包剩余的体积还能获得的最大价值。然后比较哪种情况更好。
如果我们用f(n, m) 表示我们当前决定是否放第n个物品，并且背包的容积是 m 时背包的最大价值，那么，我们可以得到，
f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w
)+p
}

f(n-1,m) 表示不放第n个物品时背包的价值，f(n-1,m-w
)+p

表示放入第n个物品时背包的价值。（其实，对于放与不放，本身就是一种组合）

代码：

public class BackPack {
public static void main(String[] args) {
int n = 4; //number of items
int volume = 20; // the volume of the backpack

Random rd = new Random();
Item[] items = new Item
;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int size = rd.nextInt(20) + 1;
int value = rd.nextInt(10) + 1;
items[i] = new Item(size, value);
}
print(items);
System.out.println("The maximum value of the backpack is " + maxValue(items, volume));
}
public static int maxValue(Item[] items, int volume) {
//number of items
int numItem = items.length;
int[][] valueTable = new int[numItem + 1][volume + 1];
// i refers to the ith item
for (int i = 1; i <= numItem; i++) {
// j refers to the volume
for (int j = 1; j <= volume; j++) {
int size = items[i-1].size;
int value = items[i-1].value;
valueTable[i][j] = Math.max(getTableValue(valueTable, i-1, j), size <= j ? getTableValue(valueTable, i-1, j-size) + value : 0);
}
}
print(valueTable);
return valueTable[numItem][volume];
}

public static int getTableValue(int[][] valueTable, int i, int j) {
if (i >= 0 && j >= 0) {
return valueTable[i][j];
}
return 0;
}
//print items
public static void print(Item[] items) {
System.out.println("Value  Size");
for (Item item : items) {
System.out.println(item.value + "  "+ item.size);
}
}
// print value table
public static void print(int[][] table) {
for (int i = 0; i < table.length; i++) {
for (int j = 0; j < table[0].length; j++) {
System.out.print(table[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}

class Item {
int size = 0;
int value = 0;

public Item(int size, int value) {
this.size = size;
this.value = value;
}
}

参考：http://hi.bccn.net/space-339919-do-blog-id-14722.html
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