nefu484数字梯形问题

数字梯形问题

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description

给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。 规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。 规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。 规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1 对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

input

多组数据输入. 每组输入第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

output

每组输出规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和,每行一个最大总和。

sample_input

2 5 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1

sample_output

66 75 77

【问题分析】

求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。

【建模方法】

规则(1)

把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S汇T。

1、对于每个点i从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i权值的有向边。

2、从S向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。

3、从梯形底层每个<i.b>向T连一条容量为1，费用为0的有向边。

4、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(2)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为i的权值的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为1，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(3)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为i的权值的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为无穷大，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

【建模分析】

对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任意一条ST之间的路径都是一个解，在

拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m条路经。

对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制流量为1，由于顶层的每个点只能用1

次，S向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。

对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S到顶层顶点之间的边以外所有边的流量限制即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int oo=1e7;
const int mm=111111;
const int mn=8888;
int node,src,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],cost[mm],next[mm];
int head[mn],dis[mn],p[mn],q[mn],vis[mn],work[mn];
int g[mn][mn],mapp[mn][mn];
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0;i<node;++i)head[i]=-1,vis[i]=0;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
ver[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
ver[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool spfa()
{
int i,u,v,l,r=0,tmp;
for(i=0;i<node;i++) dis[i]=-oo;
dis[q[r++]=src]=0;
p[src]=p[dest]=-1;
for(l=0;l!=r;(++l>=mn)?l=0:l)
for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0;i>=0;i=next[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<(tmp=dis[u]+cost[i]))
{
dis[v]=tmp;//cout<<"u="<<u<<" v="<<v<<" tmp="<<tmp<<endl;
p[v]=i^1;
if(vis[v]) continue;
vis[q[r++]=v]=1;
if(r>=mn) r=0;
}
return p[dest]>-1;
}
int Spfaflow()
{
int i,ret=0,delta;
while(spfa())
{
for(i=p[dest],delta=oo;i>=0;i=p[ver[i]])
if(flow[i^1]<delta) delta=flow[i^1];
for(i=p[dest];i>=0;i=p[ver[i]])
flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;
ret+=delta*dis[dest];//cout<<"ret="<<ret<<endl;
}
return ret;
}
int main()
{
int n,m,i,j,a,ans,tmp,t;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
tmp=0;
for(i=1;i<=m;i++)
tmp=tmp+n+i-1;
prepare(tmp+tmp+2,0,tmp+tmp+1);
t=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
scanf("%d",&a);
mapp[i][j]=a;
if(i==1)
{
addedge(src,t+1,1,0);
}
g[i][j]=++t;
int from=t;
int to=++t;
addedge(from,to,1,a);
if(i==m)
{
addedge(to,dest,1,0);
}
}
}
for(i=1;i<m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
int from=g[i][j]+1;
int to=g[i+1][j];
addedge(from,to,1,0);
to=g[i+1][j+1];
addedge(from,to,1,0);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
t=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
g[i][j]=++t;
}
}
prepare(t+2,0,t+1);
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
if(i==1)
addedge(src,g[i][j],1,0);
if(i!=m)

4000
{
addedge(g[i][j],g[i+1][j],1,mapp[i][j]);
addedge(g[i][j],g[i+1][j+1],1,mapp[i][j]);
}
else
addedge(g[i][j],dest,oo,mapp[i][j]);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
prepare(t+2,0,t+1);
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
if(i==1)
addedge(src,g[i][j],1,0);
if(i!=m)
{
addedge(g[i][j],g[i+1][j],oo,mapp[i][j]);
addedge(g[i][j],g[i+1][j+1],oo,mapp[i][j]);
}
else
addedge(g[i][j],dest,oo,mapp[i][j]);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
}
return 0;
}