求n!最右端非 0的数字！！hdu Last non-zero Digit in N!

首先引用下leemars的报告：

这道题要求N!的最后一个非0数字是多少，如果用一般作法，先统计2和5的个数，然

后补乘2，得到的将是TLE。所以还需要再做简化：

为了把0去掉，我们把所有的因数2和5都提出来，放到最后再处理。N!中的N个相乘的

数可以分成两堆：奇数和偶数。偶数相乘可以写成(2^M)*(M!)，M=N DIV 2。M!可以

递归处理，因此现在只需讨论奇数相乘。考虑1*3*5*7*9*11*13*15*17* ... *N(如果

N为偶数则是N-1)，这里面是5的倍数的有5，15，25，35，... ，可以其中的5提出来

，变成(5^P)*(1*3*5*7*9* ... )，后面括号中共P项，P=(N DIV 5+1) DIV 2，而后

面的括号又可以继续提5出来，递归处理。现在剩下的数是1 * 3 * 7 * 9 * 11 * 13

* 17 * 19 * ... 。这些数我们只需要他们的个位数，因为(1 * 3 * 9 * 11 * 13

* ... ) MOD 10 = (1 * 3 * 7 * 9 * 1 * 3 * ... ) MOD 10。我们列出余数表，

1 3 1 9 9 7 9 1 1 3 1 9 9 7 9 ……。我们发现每八项MOD 10的结果是一个循环。

算出奇数的结果后，我们再回头看统计了多少个2和5需要乘入。把2和5配对完都是N

!后面的0，看剩下的2有几个。如果有剩下的2，考虑2^N的个位数又是2 4 8 6 2 4

8 6 ……每四项一个循环，找出这个个位数后，和前面的结果相乘，再取个位数就是

答案。由于我们完全把2和5的因素另外处理，所以在所有的乘法中，都只需要计算个位数乘法，并且只保留个位数的结果。

但让我很惊异的是：为什么我提交总是WA？后来我才知道，原因是这道题的N相当大

！达到了10^100！要用大数来处理！GPC四项编译开关全关的，自然查不出来！而且

上面这个算法换成大数后会很麻烦。还有什么别的好方法吗?

答案是有的。我们设F(N)表示N!的尾数。

先考虑简单的。考虑某一个N!(N < 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来

5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们先把

0..9的阶乘的尾数列出来（注意，5的倍数的位置上是1），可以得到table[0..9] =

(1, 1, 2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6)。对于N < 5，直接输出table
即可；对于N >

= 5，由于提出了一个5，因此需要一个2与之配成10，即将尾数除以2。注意到除了0

!和1!，阶乘的最后一个非零数字必为偶数，所以有一个很特别的除法规律：2 / 2

= 6，4 / 2 = 2，6 / 2 = 8，8 / 2 =　4。比较特殊的就是2 / 2 = 12 / 2 = 6，

6 / 2 = 16 / 2 = 8。这样我们就可以得到如下式子：

代码:

      table

F(N) = ------------ (0 <= N < 10)

      2^([N/5])

再考虑复杂的。考虑某一个N!(N >= 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原

来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们观

察一下剩下的数的乘积的尾数，通过table表，我们发现这10个数的乘积的尾数是6，

6 * 6的尾数还是6，因此我们将剩下的数每10个分成一组，则剩下的数的乘积的尾数

只与最后一组的情况有关，即与N的最后一位数字有关。由于我们把5的倍数提出来了

，N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数，有多少个5，就需要有多少个2与之配成10，所

以有多少个5，最后就要除以多少个2。注意到除2的结果变化是4个一循环，因此如果

有A个5，只需要除(A MOD 4)次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关，很好求

算。剩下的5的倍数，由于5已经全部处理掉了，就变成[N/5]!。于是，我们可以得到

一个递归关系：

代码:

      F([N/5]) * table[N的尾数] * 6

F(N) = ----------------------------------- (N > 10)

          2^([N/5] MOD 4)

这样我们就得到了一个O(log5(N))的算法，整除5可以用高精度加法做，乘2再除10即

可。整个算法相当巧妙，写起来也比较轻松。

 

 

 

 

因为 2^N 是以4为循环节的

而且table
是以10为循环节的

所以从10开始

     F([N/5]) * table[N的尾数] * 6

F(N) = ----------------------------------- (N > 10)

          2^([N/5] MOD 4)

右边的式子除了F[n/5]外 是以20为循环节的

写出循环的末尾数字mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2}

 

整体思路解决了

然后就开始编程序喽！

 

 

 

#include<stdio.h>

#include<string.h>

int mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2};

char n[1000];

int a[1000];

int main()

{

 int i,c,t,len;

    while(scanf("%s",n)!=EOF)

 {

  t=1;

  len=strlen(n); 

  for(i=0;i<len;i++)

   a[i]=n[len-1-i]-'0';

  while(len)

  {

   len-=!a[len-1];

   t=t*mod[a[1]%2*10+a[0]]%10;  

   for(c=0,i=len-1;i>=0;i--)      

    c=c*10+a[i],a[i]=c/5,c%=5;

  }

  printf("%d\n",t);

 }

 return 0;

}

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int work(char str[])

{

    int mod[20]={1,1,2,6,4,2,2,4,2,8,4,4,8,4,6,8,8,6,8,2};

    int a[1000];

    int i,c,t=1,len=strlen(str);

    for(i=0;i<len;i++)

    a[i]=str[len-1-i]-'0';

    while(len)

    {

        len-=!a[len-1];

        t=t*mod[a[1]%2*10+a[0]]%10;

        for(c=0,i=len-1;i>=0;i--)

        c=c*10+a[i],a[i]=c/5,c%=5;

    }

    return t;

}

int main()

{

    char ch[1000];

    int t;

    while(~scanf("%s",ch))

    {

       t=work(ch);

       printf("%d\n",t);

    }

    return 0;

}