HDU 2050折线分割平面(解析,直线,平行线,折线,三角形)
2012-09-27 19:13
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这篇文章全是转载总结,留给自己看的......
(1) n条直线最多分平面问题
题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。
析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。
故:f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1
(2) 折线分平面(hdu2050)
根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1
(3) 封闭曲线分平面问题
题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。
故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)
=f(1)+2+4+……+2(n-1)
=n^2-n+2
(4)平面分割空间问题(hdu1290)
由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。
故:f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……
=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1
(1) n条直线最多分平面问题
题目大致如:n条直线,最多可以把平面分为多少个区域。
析:可能你以前就见过这题目,这充其量是一道初中的思考题。但一个类型的题目还是从简单的入手,才容易发现规律。当有n-1条直线时,平面最多被分成了f(n-1)个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多,就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线断。而每条射线和线断将以有的区域一分为二。这样就多出了2+(n-2)个区域。
故:f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1
(2) 折线分平面(hdu2050)
根据直线分平面可知,由交点决定了射线和线段的条数,进而决定了新增的区域数。当n-1条折线时,区域数为f(n-1)。为了使增加的区域最多,则折线的两边的线段要和n-1条折线的边,即2*(n-1)条线段相交。那么新增的线段数为4*(n-1),射线数为2。但要注意的是,折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。
故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1
(3) 封闭曲线分平面问题
题目大致如设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
析:当n-1个圆时,区域数为f(n-1).那么第n个圆就必须与前n-1个圆相交,则第n个圆被分为2(n-1)段线段,增加了2(n-1)个区域。
故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)
=f(1)+2+4+……+2(n-1)
=n^2-n+2
(4)平面分割空间问题(hdu1290)
由二维的分割问题可知,平面分割与线之间的交点有关,即交点决定射线和线段的条数,从而决定新增的区域数。试想在三维中则是否与平面的交线有关呢?当有n-1个平面时,分割的空间数为f(n-1)。要有最多的空间数,则第n个平面需与前n-1个平面相交,且不能有共同的交线。即最多有n-1 条交线。而这n-1条交线把第n个平面最多分割成g(n-1)个区域。(g(n)为(1)中的直线分平面的个数)此平面将原有的空间一分为二,则最多增加g(n-1)个空间。
故:f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……
=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1
直线: | ||
条数 | 最多交点数 | 平面数 |
1 | 0 | 2 |
2 | 1 | f(1)+2 |
3 | 2 | f(2)+3 |
4 | 3 | f(3)+4 |
n | n-1(该条数的直线前面的直线总条数) | f(n-1)+增加的平面数=f(n-1)++(交点数+1)=f(n-1)+((n-1)+1) |
平行线: | |||
对数 | 条数 | 最多交点数 | 平面数 |
1 | 2 | 0 | 3 |
2 | 4 | 4=2*2 | f(1)+6=f(1)+3*2 |
3 | 6 | 8=4*2 | f(2)+10=f(2)+5*2 |
4 | 8 | 12=6*2 | f(3)+14=f(3)+7*2 |
n | 2*n | 单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2 | f(n-1)+单条直线增加的平面数*2=f(n-1)+(交点数+1)*2=f(n-1)+(2*(n-1)+1)*2 |
折线: | |||
折线数 | 所含直线数 | 最多交点数 | 平面数 |
1 | 2 | 0 | 2 |
2 | 4 | 4=2*2 | f(1)+5=f(1)+(2*3-1) |
3 | 6 | 8=4*2 | f(2)+9=f(2)+(2*5-1) |
4 | 8 | 12=6*2 | f(3)+13=f(3)+(2*7-1) |
n | 2*n | 单条直线交点数*2=该对平行线前的直线总条数*2=(2*(n-1))*2 | f(n-1)+(单条直线增加的平面数*2-1)=f(n-1)+((交点数+1)*2-1)=f(n-1)+((2*(n-1)+1)*2-1) |
三角形 | |||
个数 | 交点数 | 增加的平面个数 | 分割平面总数 |
1 | 0 | 1 | 2 |
2 | 2*3 | 3*3-3 | f(1)+3*3-3 |
3 | 4*3 | 5*3-3 | f(2)+5*3-3 |
4 | 6*3 | 7*3-3 | f(3)+7*3-3 |
n | (n*2-2)*3 | (2*n-1)*3-3 | f(n-1)+(2*n-1)*3-3=f(n-1)+6*(n-1) |
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