约瑟夫环问题(Josephus)

继续笔试准备ing……分享一下昨天做到的其中一题，其实题目很老，也做过n遍了，但复习起来也是颇有韵味，同时还发现另一种妙解，感觉不错的。

问题描述：

约瑟夫环问题(Josephus)

用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

解法一(My Solution)：

思想：建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并记数，如果计数i==m(i初始为1)踢出元素，继续循环，当当前元素与下一元素相同时退出循环。

代码：



1 /*

2 约瑟夫环问题(Josephus)

3 用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。（约瑟夫环问题 Josephus）

4 Code By Eric Yang 2009

5 http://ericyang.cnblogs.com

6 */

7 #include <stdio.h>

8 #include <stdlib.h>

9

10 // 链表节点

11 typedef struct _RingNode

12 {

13 int pos; // 位置

14 struct _RingNode *next;

15 }RingNode, *RingNodePtr;

16

17 // 创建约瑟夫环，pHead:链表头指针，count:链表元素个数

18 void CreateRing(RingNodePtr pHead, int count)

19 {

20 RingNodePtr pCurr = NULL, pPrev = NULL;

21 int i = 1;

22 pPrev = pHead;

23 while(--count > 0)

24 {

25 pCurr = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));

26 i++;

27 pCurr->pos = i;

28 pPrev->next = pCurr;

29 pPrev = pCurr;

30 }

31 pCurr->next = pHead; // 构成环状链表

32 }

33

34 void PrintRing(RingNodePtr pHead)

35 {

36 RingNodePtr pCurr;

37 printf("%d", pHead->pos);

38 pCurr = pHead->next;

39 while(pCurr != NULL)

40 {

41 if(pCurr->pos == 1)

42 break;

43 printf("\n%d", pCurr->pos);

44 pCurr = pCurr->next;

45 }

46 }

47

48 void KickFromRing(RingNodePtr pHead, int m)

49 {

50 RingNodePtr pCurr, pPrev;

51 int i = 1; // 计数

52 pCurr = pPrev = pHead;

53 while(pCurr != NULL)

54 {

55 if (i == m)

56 {

57 // 踢出环

58 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序

59 pPrev->next = pCurr->next;

60 free(pCurr);

61 pCurr = pPrev->next;

62 i = 1;

63 }

64 pPrev = pCurr;

65 pCurr = pCurr->next;

66 if (pPrev == pCurr)

67 {

68 // 最后一个

69 printf("\n%d", pCurr->pos); // 显示出圈循序

70 free(pCurr);

71 break;

72 }

73 i++;

74 }

75 }

76

77 int main()

78 {

79 int m = 0, n = 0;

80 RingNodePtr pHead = NULL;

81 printf("---------------Josephus Ring---------------\n");

82 printf("N(person count) = ");

83 scanf("%d", &n);

84 printf("M(out number) = ");

85 scanf("%d", &m);

86 if(n <= 0 || m <= 0)

87 {

88 printf("Input Error\n");

89 system("pause");

90 return 0;

91 }

92 // 建立链表

93 pHead = (RingNodePtr)malloc(sizeof(RingNode));

94 pHead->pos = 1;

95 pHead->next = NULL;

96 CreateRing(pHead, n);

97 #ifdef _DEBUG

98 PrintRing(pHead);

99 #endif

100

101 // 开始出圈

102 printf("\nKick Order: ");

103 KickFromRing(pHead, m);

104 printf("\n");

105 system("pause");

106 return 0;

107 }

108




解法二(From Net)：

思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f
。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f
+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：



1 #include <stdio.h>

2 int main()

3 {

4 int n, m, i, s = 0;

5 printf ("N M = ");

6 scanf("%d%d", &n, &m);

7 for (i = 2; i <= n; i++)

8 {

9 s = (s + m) % i;

10 }

11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);

12 }




这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。