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广群

一个代数系统<A,*>,其中A是非空集合，*是S上的二元运算，如果二元运算*是封闭的，那么代数系统<A,*>成为广群；

半裙

一个代数系统<A,*>,其中A是非空集合，*是S上的二元运算

（1）如果二元运算*是封闭的；

（2）二元运算*是可结合的，那么对任意的x，y，z属于S，满足：

（x*y)*z=x*(y*z)

则称代数系统为半裙

独异点

含有幺元的半裙是独异点；

群

一个代数系统<A,*>,其中A是非空集合，*是S上的二元运算

（1）如果二元运算*是封闭的；

（2）二元运算*是可结合的；

（3）存在幺元；

（4）对每一个元素，存在逆元；

代数系统<A,*>称为群；

Abel群

群<A,*>的运算*是可交换的，那么成为Abel群（交换群）

环

设代数系统<B,&,*>，如果：

（1）<B,&>是Abel群；

（2）<B,*>是半群；（封闭可结合无幺元逆元）

（3）运算*对于运算&是可分配的

则称<B,&,*>为环；

交换环

设<B,&,*>是环，如果<B,*>也是可交换的，则称交换环；

含幺环

设<B,&,*>是环，如果<B,*>含有幺元，则称含幺环；

整环

设<B,&,*>是一个代数系统，如果满足：

（1）<B,&>是Abel群；

（2）<B,*>是可交换的独异点，且无零因子，且对任意的a，b属于B，并且a≠0，b≠0，必有a*b≠0；

（3)运算*对于运算&是可分配的；

则称<B,&,*>是整环；

域

设<B,&,*>是一个代数系统，如果满足：

（1）<B,&>是Abel群；

（2）<B-{0},*>是Abel群；

（3）运算*对于运算&是可分配的；

则称<B,&,*>是域；

格

设<A,≤>是一个偏序集（自反性，反对称性，传递性），如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称<A,≤>为格；

def

设<A,≤>为一个格，如果在A上定义二元运算∧和∨，使对于任意的a，b∈A，有a∨b为A的最小上界，a∧b为A的最大下界，那么就称<A，∧，∨>是由格<A,≤>诱发的代数系统；

理想

环R的一个非空子集J称为理想；如果J是R的一个子环并且对所有a∈J，r∈R，有

ar∈J和ra∈J；

主理想

R是一个交换环，R的一个理想J成为主理想；如果存在a∈R使得J=（a）。

主理想环

设R是一个整环，如果R中的每一个理想都是主理想，则称R是主理想环；

多项式环