陶哲轩实分析定理11.9.1：微积分第一基本定理(一)

设$a<b$是实数，并设$f:[a,b]\to\mathbf{R}$是黎曼可积的，设$F:[a,b]\to\mathbf{R}$是函数$$F(x)=\int_{[a,x]}f$$那么$F$是连续的.

证明:

也就是证明，对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$\delta$,使得当$|x_1-x_2|<\delta$时，便有
\begin{equation}
\label{eq:1}
|\int_{[a,x_2]}f-\int_{[a,x_1]}f|<\varepsilon
\end{equation}
其中$x_1,x_{2}\in [a,b]$.

由于$f$在$[a,b]$上黎曼可积,因此$f$在$[a,b]$上是一个有界函数(为什么?)，则取足够小的$\delta$，会导致
\begin{equation}
\label{eq:2}
|\int_{[a,x_2]}f-\int_{[a,x_1]}f|<\varepsilon
\end{equation}

因此$F$在$[a,b]$上连续.