直方图均衡的数学原理

1，什么是图像的直方图。

　　对于一张灰度图，该图的直方图就是占各个灰度值的像素点的个数的统计，直方图是图像的一种统计特性。如图1所示，该8
bit图的灰度范围是0-255，从直方图中可以很直观的看出各个灰度值的像素个数。

　　



图1 左边一张灰度图，右边为该灰度图的直方图

　　对于给定的灰度值r在上图中出现的概率可以表示成如下：



 

2，直方图均衡的数学原理　

　　

　　　直方图均衡的主要目的是增强图片的对比度，从概率的角度讲就是让图像灰度的概率密度函数分布均匀，即在图像灰度范围内，任意灰度值出现的概率相等，即P(r)=P(g)，其中r,
g代表任意的灰度值。

　　设原图像的概率密度函数为 Pr(r)，转换后的概率密度函数为 Ps(s)。r, s之间的映射函数为：s
= f(r) (r为转换前的灰度值，s为转换后的灰度值)，直方图均衡后的灰度值（这里是0-255的8bit图像）服从均匀分布，所以通过直方图均衡函数f(r)映射后的概率密度函数为 Ps(s) = 1/M（其中M=255）。映射函数 s = f(r) 的推导过程如下：



　

3，直方图均衡

　　


图2
直方图均衡后的图像及其直方图

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