欧拉函数 hdu 2824

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定义： 对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目；

例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。

性质：

1. 若p是质数，φ（p）= p-1.

2. 若n是质数p的k次幂，φ（n）= （p-1）p^(k-1) 因为除了p的倍数都与n互质

3. 欧拉函数是积性函数，即若m，n互质，φ（mn）= φ(m)φ(n)

根据这3条性质我们就可以退出一个整数的欧拉函数的公式，因为一个数总可以一些质数的乘积的形式。

E(k) = (p1-1)(p2-1)…(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))…(pi^(ai-1))

= k*(p1-1)(p2-1)…(pi-1)/(p1*p2*…pi)

= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)…(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因数)

若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);



当数据比较小时，可以采取以下方式初始化欧拉数组：

void init()

{

__int64 i,j;

e[1] = 1;

for(i=2;i<=N;i++)

if(!e[i])

{

for(j=i; j<=N; j+=i)

{

if (!e[j])

e[j] = j;

e[j] = e[j] / i * (i-1);

}

}

}



数据比较大时利用素数筛选：

void init()

{

__int64 i, j;

p[0] = 1; //记录素数个数

p[1] = 2;

for (i=3; i<N; i+=2)

{

if (hash[i])

continue;

p[++p[0]] = i;

for (j=i*i; j<N; j+=i)

hash[j] = true;

} //筛素数

e[1] = 1;

for (i=1; i<=p[0]; i++)

e[p[i]] = p[i] - 1; //初始化素数的phi

for (i=2; i<N; i++)

{

if(!e[i])

{

for (j=1; j<=p[0]; j++)

if (i % p[j]==0)

{

if (i / p[j] % p[j])

e[i] = e[i / p[j]] * e[p[j]];

else

e[i] = e[i / p[j] ]* p[j];

break;

} // 利用上述性质求解

}

}

return ;

}

另外一个大牛的总结：

欧拉函数：

对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

完全余数集合：

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p - 1.
对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

证明：对于质数p,q，满足φ(n) =(p-1)(q-1)

考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}

而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：

1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个

2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个

3) {0}

很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

欧拉定理：

对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n
{
注：
同余符号：　　
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余

　　记作 a ≡ b (mod m)

　　读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。

　　比如 26 ≡ 14 (mod 12)
}

证明：

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合

S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}

则S = Zn

1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此

任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n

= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n

= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n

考虑上面等式左边和右边

左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n

而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

aφ(n) ≡ 1 mod n

费马定理：

a是不能被质数p整除的正整数，则有 ap - 1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p

欧拉函数公式：

( 1 ) pk 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = pk ，

φ(n) = pk - pk -1
证明：
 小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
 和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
 所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
 令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
 根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
 （我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ? b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
 而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
 φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：

I
 n = ∏ piki (I 为 n 的素因子的个数)
 i=1

（注：∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ，有时也用来代表圆周率值）

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为： 
         I                      I
 Φ(n) = ∏  piki -1(pi -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
        i=1                    i=1
对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在  pi -1 是偶数。

AC代码：

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#define MAX 3000010

__int64 f[MAX];

void init()

{

int i,j;

memset(f,0,sizeof(f));

//f[0]=0;

f[1]=1;

for(i=2;i<MAX;i++)

{

if(!f[i])

{

for(j=i;j<MAX;j+=i)

{

if(!f[j])

f[j]=j;

f[j]=f[j]/i*(i-1);

}

}

f[i]+=f[i-1];

}

return;

}

int main()

{

int a,b;

init();

while(scanf("%d%d",&a,&b)==2)

{

//if(a>b)

//a^=b^=a^=b;//ab交换，使用位运算法

printf("%I64d\n",f[b]-f[a-1]);

}

return 0;

}