最优二叉查找树（动态规划）

1. 描述

给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来表示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d0<d1<……<dn}。其中d0表示搜索元素小于k1的失败结果，dn表示搜索元素大于kn的失败结果。di（0<i<n）表示搜索节点在ki和k(i+1)之间时的失败情况。对于应di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。

2. 分析

（1）最优子结构

一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1 <= i <= j<= n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。

如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。

构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i <= r <= j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。

（2）递推公式

定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。

则：

e[i,i-1] = q(i-1)
j = i-1时，

当j >= i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。

w[i,j] = （pi + ... + pj） + （qi-1 + ... + qj）

于是当 j>= i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] +e[r+1,j]+w[i,j];

（3）计算最优二叉树的期望代价

e[i,j]=

q(i-1) j = i-1时

min{e[i,r-1] +e[r+1,j]+w[i,j]} i <= j，其中i <= r <= j

w[i,j] =

q(i-1) j = i-1时

w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj i <= j时

3. 算法

算法如下：

void optimalBST(int n, float p[], float q[]) // the length of p and q is (n + 1)
{
float w[n + 2][n + 1], e[n + 2][n + 1], temp;
int root[n + 1][n + 1];
int i, j, l, r;
for (i = 1;i <= n + 1; i++)
w[i][i - 1] = e[i][i - 1] = q[i - 1];
for (l = 1; l <= n; l++)
for (i = 1, j = l; i <= n - l + 1; i++, j++)
{
e[i][j] = INT_MAX;
w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j];
for (r = i; r <= j; r++)
{
temp = e[i][r - 1] + e[r + 1][j] + w[i][j];
if (e[i][j] > temp)
{
e[i][j] = temp;
root[i][j] = r;
}
}// for (r = i; )
}// for
printf("The optimal search cost is %.2f\n", e[1]
);
constructOptimalBST(n, root);
}

root是记录构造过程中选择的根节点，以便构造最优解。

constructOptimalBST函数如下：

void constructOptimalBST(int n, int root[][n + 1])
{
printf("k%d is the root\n", root[1]
);
recursiveConstruct(n, root, root[1]
, 1, n);
}

其中recursiveConstruct函数如下：

void recursiveConstruct(int n, int root[][n + 1], int r, int i, int j)
{
if (j == i - 1)
{
if (i == r)
printf("d%d is the left child of k%d\n", r - 1, r);
else
printf("d%d is the right child of k%d\n", r, r);
} else {
if (i != r) {
printf("k%d is the left child of k%d\n", root[i][r - 1], r);
recursiveConstruct(n, root, root[i][r - 1], i, r - 1);
} else{
printf("d%d is the left child of k%d\n", r - 1, r);

if (j != r) {
printf("k%d is the right child of k%d\n", root[r + 1][j], r);
recursiveConstruct(n, root, root[r + 1][j], r + 1, j);
} else
printf("d%d is the right child of k%d\n", r, r);
}
}

测试如下：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

void optimalBST(int n, float p[], float q[]);
void constructOptimalBST(int n, int root[][n + 1]);
void recursiveConstruct(int n, int root[][n + 1], int r, int i, int j);
int main(void)
{
float p[] = {-1, 0.15, 0.10, 0.05, 0.10, 0.20};
float q[] = {0.05, 0.10, 0.05, 0.05, 0.05, 0.10};
int n = 5;
optimalBST(n, p, q);
return 0;
}

输出：