跳台阶问题|斐波那契递归的复杂度问题|整数划分问题

【问题】

台阶一共有N节，一次可以跳1节或者2节，问有多少次跳法？如果一次可以跳1节、2节或者3节呢？

【分析】

定义f(N)为第几节台阶时候的跳法,那么，

N=1时，f(N)=1;
N=2时, f(N)=2;因为有每次跳一步和一次跳两步两种
当N>2时，如果第一次跳1阶，那么要跳到第N节有，需要将剩下的N-1节跳完，f(N-1);如果第一次跳2阶，那么需要将剩下的N-2节跳完，有f(N-2)种跳法，两种起始跳法互斥，所以由f(N)=f(N-1)+f(N-2)

【代码】

long long fibonacci_soluction(int N)
{

	if(N <=2)
		return N;
	else
		return fibonacci_soluction(N-1)+fibonacci_soluction(N-2);

}

同理，若是一次可以跳1阶、2阶或者3阶，那么

f(N)=1 N=1
f(N)=2 N=2
f(N)=4 N=3

f(N)=f(N-1)+f(N-2)+f(N-3) n>3

代码如下：

long long fibonacci_soluction2(int N)
{
	if(N == 1)
		return 1;
	if(N == 2)
		return 2;
	if(N == 3)
		return 4;
	else
		return fibonacci_soluction2(N-1)+fibonacci_soluction2(N-2)+fibonacci_soluction2(N-3);
}

【思考】菲波那切数列时间空间复杂度

转化成斐波那契数列递归求解，貌似是一个漂亮的解法，但是时间O(2^N)和空间复杂度O(N)不敢恭维，改用递推，时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

long long fibonacci_soluction_rec(int N)
{

	if(N <= 2)
		return N;
	long long a, b, c;
	a = 1, b = 2;
	int i;
	for (int i = 3; i <= N; i++)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}	
	return c;

}

但这是实现菲波那切数列最优的方法么？参考http://www.gocalf.com/blog/calc-fibonacci.html
答案：矩阵法是最快的算法，具体推导见上面的链接用python实现的，用C++实现的http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200722991933440/
最终的代码如下：
/* f
1*f[n-1] + 1* f[n-2] 1 1 f[N-1] | 1 1 |^(N-1) f[1]

----- = --------------- = * =*

f[n-1]
1*f[n-1] + 0* f[n-1] 1 0 f[N-2] | 1 0 |
f[0]

转变为求1 1 二维矩阵的N-1次幂的形式

1 0

/ an/2*an/2 n为偶数时

an=

\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时

这样只需logN次就行了

*/

struct matrix_2by2
{
	matrix_2by2(long long a_00 = 0,	long long a_01 = 0,	long long a_10 = 0, long long a_11 = 0)
	:a00(a_00),a01(a_01),a10(a_10),a11(a_11)//为书写方便，给struct一个构造函数
	{

	}
	long long a00;
	long long a01;
	long long a10;
	long long a11;	
};
typedef struct matrix_2by2 matrix_2by2;
matrix_2by2 matrix_2by2_multiple(const matrix_2by2 A, const matrix_2by2 B)
{
	return matrix_2by2
	(
		A.a00*B.a00 + A.a01*B.a10,
		A.a00*B.a01 + A.a01*B.a11,
		A.a10*B.a00 + A.a11*B.a10,
		A.a10*B.a01 + A.a11*B.a11	
	);

}
matrix_2by2 matrix_pow(int N)
{
	assert(N > 0);
	matrix_2by2 matrix;
	if (N == 1)
	{
		return matrix_2by2(1, 1, 1, 0);
	}
	if (N % 2 == 0)
		matrix = matrix_2by2_multiple(matrix_pow(N/2), matrix_pow(N/2));

	if (N % 2 == 1)
	{
		matrix = matrix_2by2_multiple(matrix_pow((N-1)/2), matrix_pow((N-1)/2));
		matrix = matrix_2by2_multiple(matrix, matrix_2by2(1,1,1,0));
	}
	return matrix;
}

long long matrix_fabonacci(int N)
{
	if(N <=2)
		return N;
	matrix_2by2 res = matrix_pow(N);
	return res.a00;	
}

【测试代码】

#include <time.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
	
	time_t begin, end;
	begin = clock();
	fibonacci_soluction_rec(10000000);
	end = clock();
	cout<<"使用递推fibonacci(100)用时"<<end-begin<<endl;
	begin = clock();
	matrix_fabonacci(10000000);
	end = clock();
	cout<<"使用矩阵fibonacci(100)用时"<<end-begin<<endl;

}

不知为什么，我测试的矩阵方法竟然比递归的方法慢了50多倍！有时间在考虑下~~

【思考】当跳的步数不止三个呢，这就转化为整数规划的问题

详细分析见别人的这篇博文：http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/04/04/2005098.html

long long equationCount(int n, int m)
{
	assert(m >0 && n>0);
	if (m==1 || n==1)
		return 1;
	if (n <= m)
		return 1+equationCount(n, n-1);
	if (n > m)
		return equationCount(n-m, m)+equationCount(n, m-1);

}

当然，对上述递归算法实际中需要进行优化。（完，断断续续写了三天=_=）