KM算法求完全匹配情况下的最大匹配

  算法说明：1，一定存在完全匹配

                      2，求最大（小）权匹配，也就是各种匹配情况下需要的消耗最小或者收益最大

算法前首先说明什么是交错树：每次增加一条增广路或者增加失败时匈牙利算法所遍历过的点都是交错树中的节点，如果说二分图（一边是x顶点，另一边全是y顶点）中以x顶点匹配y顶点时，那么交错树中的所有叶子节点都是x顶点。（欢迎各位理解得更清楚的同学指导）

 算法说明：该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

　　KM算法的正确性基于以下定理：

　　若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

　　首先解释下什么是完备匹配，所谓的完备匹配就是在二部图中，X点集中的所有点都有对应的匹配或者是

　　Y点集中所有的点都有对应的匹配，则称该匹配为完备匹配。

　　这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

　　初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。

　　我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：

　　1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

　　2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

　　3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

　　4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

　　现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：

　　Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。

 

推荐

poj 2195 ：http://poj.org/problem?id=2195

我的代码：

#include<stdio.h>

#include<string.h>

int row,col;//提供图的行和列

char str[201][201];//存图

int dis[201][201];//存各人和房子的距离

int men[201][2],house[201][2],hnum,mnum;//每个人，每个房子的坐标

int line[201],usedy[201],usedx[201],point[201][2];//line求得的匹配 usedx存交错树中x顶点，usedy存交错树中y顶点，point二维，第一维存x（即人）顶点顶标，第二维存一（即房子）顶点顶标

int find(int x)

{

 usedx[x]=1;

 for(int i=1;i<=hnum;i++)

  if(!usedy[i]&&point[x][0]+point[i][1]-dis[x][i]==0)//标记：可以优化

  {

   usedy[i]=1;

   if(!line[i]||find(line[i]))

   {

    line[i]=x;

    return 1;

   }

  }

  return 0;

}

int count()

{

 int res=0;

 for(int i=1;i<=mnum;i++)

  res+=point[i][0]+point[i][1];

 return res;

}

int km()//KM算法求完全匹配情况下的最大匹配

{

 int i,j,max;

 for(i=1;i<=mnum;i++)

 {

  max=0x8fffffff;

  for(j=1;j<=hnum;j++)

  {

   if(dis[i][j]>max)

   {

    max=dis[i][j];

   }

  }

  point[i][0]=max;

  point[i][1]=0;

 }

 memset(line,0,sizeof(line));

 for(i=1;i<=mnum;i++)

 {

  while(1)

  {

   memset(usedx,0,sizeof(usedx));//注意used的初始化，两个最用，匈牙利中的used和交错树的存储

   memset(usedy,0,sizeof(usedy));

   if(find(i))

    break;

   for(j=1;j<=mnum;j++)

   {

    if(usedx[j])

    point[j][0]--;//因为数据比较小所以每次检1，可以减去上文中标记部分最小值

   }

   for(j=1;j<=hnum;j++)

   {

    if(usedy[j])

     point[j][1]++;

   }

  }

 }

 return count();

}

int abs(int x)

{

 return x>0?x:-x;

}

int main()

{

 int i,j;

 while(scanf("%d%d",&row,&col)!=EOF&&!(row==0&&col==0))

 {

  hnum=0;

  mnum=0;

  for(i=1;i<=row;i++)

  {

   scanf("%s",str[i]+1);

   for(j=1;j<=col;j++)

   {

    if(str[i][j]=='H')

    {

     house[++hnum][0]=i;

     house[hnum][1]=j;

    }

    if(str[i][j]=='m')

    {

     men[++mnum][0]=i;

     men[mnum][1]=j;

    }

   }

  }

  for(i=1;i<=mnum;i++)

   for(j=1;j<=hnum;j++)

   {

    dis[i][j]=-(abs(men[i][0]-house[j][0])+abs(men[i][1]-house[j][1]));//取负值，把求最小变成求最大

   }

   printf("%d\n",-km());

 }

 return 0;

}