动态规划0/1背包问题

【0/1背包问题】

在0/1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即p1*x1+p2*x1+...+pi*xi(其1<=i<=n，x取0或1，取1表示选取物品i) 取得最大值。

【输入文件】

第一行一个数c，为背包容量。

第二行一个数n，为物品数量

第三行n个数，以空格间隔，为n个物品的重量

第四行n个数，以空格间隔，为n个物品的价值

【输出文件】

能取得的最大价值。

【分析】

初看这类问题，第一个想到的会是贪心，但是贪心法却无法保证一定能得到最优解，看以下实例：

贪心准则1：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c =105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。

贪心准则2：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优解[ 0 , 1 ]要差。

贪心准则3：价值密度pi /wi 贪婪算法，这种选择准则为：从剩余物品中选择可 装入包的pi /wi 值最大的物品，但是这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略解 n=3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的得到的就不是最优解。

由此我们知道无法使用贪心算法来解此类问题。我们采用如下思路：

在该问题中需要决定x1 .. xn的值。假设按i = 1，2，...，n 的次序来确定xi 的值。如果置x1 = 0，则问题转变为相对于其余物品(即物品2，3，.，n)，背包容量仍为c 的背包问题。若置x1 = 1，问题就变为关于最大背包容量为c-w1 的问题。现设r={c，c-w1} 为剩余的背包容量。在第一次决策之后，剩下的问题便是考虑背包容量为r 时的决策。不管x1 是0或是1，[x2 ，.，xn ] 必须是第一次决策之后的一个最优方案。也就是说在此问题中，最优决策序列由最优决策子序列组成。

假设f (i,j) 表示剩余容量为j，剩余物品为i，i + 1，...，n 时的最优解的值，即：利用最优序列由最优子序列构成的结论，可得到f 的递归式为：

　 当j≥wi时：　f(i,j)=max{f(i+1,j),f(i+1,j-wi)+pi}

当0≤j<wi时：f(i,j)=f(i+1,j)

这是一个递归的算法，其时间效率较低，为指数级。

考虑用动态规划的方法来解决:

阶段：在前i件物品中，选取若干件物品放入背包中；

状态：在前i件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为c的背包中的所能获得的最大价值；

决策：第i件物品放或者不放；

由此可以写出动态转移方程：

用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

f[i,j]=max{f[i-1,j-wi]+pi (j>=wi), f[i-1,j]}

这样，就可以自底向上地得出在前n件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值，也就是f[n,c]

算法框架如下：

for i:=0 to c do {i=0也就是没有物品时清零}

f[0,i]:=0;

for i:=1 to n do {枚举n件物品}

for j:=0 to c do {枚举所有的装入情况}

begin

f[i,j]:=f[i-1,j]; {先让本次装入结果等于上次结果}

if (j>=w[i]) and (f[i-1,j-w[i]]+p[i]>f[i,j]) {如果能装第i件物品}

then f[i,j]:=f[i-1,j-w[i]]+p[i]; {且装入后价值变大则装入}

end;

writeln(f[n,c]);

为了进一步说明算法的执行原理，下面给出一个实例：

【输入文件】

10

4

5 1 4 3

40 10 25 30

【输出结果】下面列出所有的f[i,j]

0 0 0 0 40 40 40 40 40 40

10 10 10 10 40 50 50 50 50 50

10 10 10 25 40 50 50 50 65 75

10 10 30 40 40 50 55 70 80 80

从以上的数据中我们可以清晰地看到每一次的枚举结果，每一行都表示一个阶段。

1.递归思想

0- 1 背包问题如果采用递归算法来描述则非常清楚明白, 它的算法根本思想是假设用布尔函数
knap( s, n) 表示n 件物品放入可容质量为s 的背包中是否有解( 当knap 函数的值为真时

说明问题有解,其值为假时无解) . 我们可以通过输入s 和n 的值, 根据它们的值可分为以下几种情况讨论:

( 1) 当s= 0时可知问题有解, 即函数knap( s, n) 的值为true; ( 2) 当s< 0 时这时不可能,

所以函数值为false; ( 3) 当输入的s> 0 且n< 1 时即总物品的件数不足1, 这时函数值为false,

只有s> 0 且n \1 时才符合实际情况,这时又分为两种情况: ( 1) 选择的一组物体中不包括Wn

则knap( s, n) 的解就是knap( s, n- 1) 的解. ( 2) 选择的一组物体中包括Wn 则knap( s, n) 的解

就是knap( s- Wn, n- 1) 的解. 这样一组Wn 的值就是问题的最佳解. 这样就将规模为n 的问题转化为

规模为n- 1 的问题. 综上所述0- 1 背包问题的递归函数定义为:
knap( s, n) =∕true, s= 0
︳false, s< 0
︳false, s> 0 且n< 1
\knap( s, n- 1) 或knap( s- Wn, n- 1) , s> 0 且n>= 1
采用此法求解0- 1 背包问题的时间复杂度为O( n) . 上述算法对于所有物品中的某几件恰能装满背包
时能准确求出最佳解. 但一般情况是对于某一些物品无论怎么装都不能装满背包, 必须要按背包的最大
容量来装. 如物品件数为4, 其质量分别为: 10, 2, 5, 4, 背包的容量为20, 则这四件物品无论怎么放都不
能恰好装满背包, 但应能最大限度装, 即必须装下10, 5, 4 这三件物品, 这样就能得到最大质量19. 对于
这种装不满的背包它的解决办法是这样的: 按所有物品的组合质量最大的方法装背包, 如果还装不满,
则我们可以考虑剩余空间能否装下所有物品中最小的那件, 如果连最小的都装不下了则说明这样得到
的解是最佳解, 问题解决. 这样我们必须先找出所有n 件物品中质量最小的那件( 它的质量为Min) , 但
是为了问题的解决我们不能增加运算次数太多, 并且必须运用上述递归函数. 那么我们可通过修改s 的
值即背包的容量, 从背包容量s 中减去k( 它的值是从0 到Min- 1 之间的一个整数值) , 再调用递归函
数. 当k= 0 时即能装满背包, 其它值也能保证背包能最大限度装满, 这样所有问题都解决了.

①例题一：

简单背包问题
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65535KB
Submissions: 2217 Accepted: 408

Description
设有一个背包可以放入的物品重量为S，现有n件物品，重量分别是w1，w2，w3，…wn。
问能否从这n件物品中选择若干件放入背包中，使得放入的重量之和正好为S。
如果有满足条件的选择，则此背包有解，否则此背包问题无解。

Input输入数据有多行，包括放入的物品重量为s，物品的件数n，以及每件物品的重量（输入数据均为正整数）
多组测试数据。
Output对于每个测试实例，若满足条件则输出“YES”，若不满足则输出“NO“
Sample Input
20 5
1 3 5 7 9
Sample Output
YES

View Code

// 动态规划解决01背包问题
#include <iostream>
#include <iomanip>
//问题描述 五个物体 背包容量W=17
//体积数据  v[5]={3,4,7,8,9}
//价值数据  w[5]={4,5,10,11,13}
using namespace std;
void fn(int k,int m);
int w[6]={0,4,5,10,11,13};//价值
int    v[6]={0,3,4,7,8,9};//体积
int x[6];
int a[6][18];
int i,j,k,m;
int main ()
{

//初始化 第0行0列赋值为0
for ( i=0;i<=5;i++)  a[i][0]=0;
for ( j=0;j<=5;j++)  a[0][j]=0;

for ( i=1;i<=5;i++)     //i表示第几个物品
{    for (j=1;j<=17;j++)   //j表示容量大小
{
if (v[i]>j)
a[i][j]=a[i-1][j];
else
a[i][j]=(a[i-1][j]>a[i-1][j-v[i]]+w[i])? a[i-1][j]:a[i-1][j-v[i]]+w[i];

}
}
//输出数据表用于观察
for ( i=0;i<=5;i++)     //i表示第几个物品
{
for (j=0;j<=17;j++)   //j表示容量大小
{    cout<<setw(3)<<a[i][j];}
cout<<endl;
}

//找出装入的物体，输出到x[]
i=5;
j=17;
while (i>=0&&j>=0)
{
if (a[i][j]==a[i-1][j])
{
x[i]=0;
i--;
}
else
{
x[i]=1;
i--;
j=j-v[i];
}
}
//输出x[]
cout<<endl;
for (int i=1;i<=5;i++)
cout<<x[i]<<" ";

return 0;
}