伸展树splay tree

伸展树实际上还是二叉查找树。

展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。

假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。splay tree应运而生。splay tree是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。

二、自调整和均摊分析：

平衡查找树的一些限制：

1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。

2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。

3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。

平衡查找树可以考虑提高性能的地方：

1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。

2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。

3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。

4、处理好那90%的情况就很好了。

三、均摊时间边界：

在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。

为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：

旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：



为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。

下图展示了将节点3旋转到根：



图1

首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。

注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！

四、基本的自底向上伸展树：

应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。

在旋转的时候，可以分为三种情况：

1、zig情况。

X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。

如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：



图2

这和一个普通的单旋转相同。

2、zig-zag情况。

在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。

先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。

如图所示：



图三

3、zig-zig情况。

这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。

先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。

如图所示：



图四