数据结构方面时间复杂度~空间复杂度

最近学习数据结构，下面通过一个题目谈谈感想吧：



关于这个挺水的题目，咱们先用基本的递推来做一下：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
int main()
{
fstream cin("1.txt");
int n,sum;
double t,x;
double a[110];
while(cin>>n>>x)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
sum=a[0];
for(int i=0;i<n;i++)
{
t=a[i];
for(int j=0;j<i;j++)
{
t*=x;
}
sum+=t;
}
cout<<sum<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}

上面代码没什么好说的，时间复杂度是O(n^2)，空间复杂度是O(n)。

效率比较低，下面考虑提升算法的效率，对x^n不必每次都乘一遍，可以用一个数组b
进行保存，因此，得到下面的代码：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
int main()
{
fstream cin("1.txt");
int n;
double t,x,sum;
double a[110],b[110];
while(cin>>n>>x)
{
b[0]=1;
sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<n;i++)
{
b[i]=b[i-1]*x;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
sum+=a[i]*b[i];
}
cout<<sum<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}

上面的算法效率高了挺多，时间复杂度O(n)，由于增加了数组，空间复杂度O(2n)。

下面尝试能否减小空间复杂度，降为O(n)，实际证明，是可以的。再次之前，要对原式进行变形：



因此，用C++实现：

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
int main()
{
fstream cin("1.txt");
int n;
double sum,t,x;
double a[110],b[110];
while(cin>>n>>x)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
sum=a[n-1];
for(int i=n-2;i>=0;i--)
{
sum=sum*x+a[i];
}
cout<<sum<<endl;
}
system("pause");
return 0;
}

上面的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(n)

机器重新装了系统，mathtype没有了，word也没用装，就是用WPS先排的公式，比较丑。。。。等凡仔回来了装一下OFFICE。。到时候重新排版一下公式。