01背包问题总结

转自 http://www.cppblog.com/jake1036/archive/2011/06/27/149566.html
一 问题描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

二 解决方案：

考虑使用dp问题 求解，定义一个递归式 opt[i][v] 表示前i个物品，在背包容量大小为v的情况下，最大的装载量。

opt[i][v] = max(opt[i-1][v] , opt[i-1][v-c[i]] + w[i])

解释如下：

opt[i-1][v] 表示第i件物品不装入背包中，而opt[i-1][v-c[i]] + w[i] 表示第i件物品装入背包中。

花费如下：

时间复杂度为o(V * T) ，空间复杂度为o(V * T) 。 时间复杂度已经无法优化，但是空间复杂度则可以进行优化。

但必须将V 递减的方式进行遍历，即V.......0 的方式进行。

三 初始化：

（1）若要求背包必须放满，则初始如下：

f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。

（2）若要求背包可以空下，则初始化如下：

f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。

具体解释如下：

初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，

其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。

如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，

这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

四 代码如下：

/*
01背包，使用了优化后的存储空间
建立数组

f[i][v] = max(f[i-1][v]  ,  f[i-1][v-c[i]] + w[i])
将前i件物品，放入容量为v的背包中的最大值。

下面介绍一个优化，使用一维数组，来表示
(1) f[v]表示每一种类型的物品，在容量为v的情况下，最大值。
但是体积循环的时候，需要从v----1循环递减。

初始化问题：
(1)若要求背包中不允许有剩余空间，则可以将f[0]均初始化为0，其余的f[1..n]均初始化为-INF 。
表示只有当容积为0 的时候，允许放入质量为0的物品。
而当容积不为0的情况下，不允许放入质量为0的物品，并且把状态置为未知状态。

(2)若要求背包中允许有剩余空间 ，则可以将f[1n]，均初始化为0。
这样，当放不下去的时候，可以空着。

*/
#include <iostream>
using namespace std ;
const  int V = 1000 ;  //总的体积
const  int T = 5 ;    //物品的种类
int f[V+1] ;
//#define EMPTY                                      //可以不装满
int w[T] = {8 , 10 , 4 , 5 , 5};        //价值
int c[T] = {600 , 400 , 200 , 200 , 300};        //每一个的体积
const int INF = -66536  ;

int package()
{
#ifdef EMPTY
for(int i = 0 ; i <= V ;i++) //条件编译，表示背包可以不存储满
f[i] = 0 ;
#else
f[0] = 0 ;
for(int i = 1 ; i <= V ;i++)//条件编译，表示背包必须全部存储满
f[i] = INF ;
#endif

for(int i = 0 ; i < T ; i++)
{
for(int v = V ; v >= c[i] ;v--) //必须全部从V递减到0
{
f[v] = max(f[v-c[i]] + w[i] , f[v])  ; //此f[v]实质上是表示的是i-1次之前的值。
}
}
return f[V] ;
}

int main()
{

int temp = package() ;
cout<<temp<<endl     ;
system("pause")      ;
return 0 ;
}