sap算法详解与模板 [转]
2012-08-25 20:54
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sap算法详解与模板 [转]
链接:1. Maximum Flow: Augmenting Path Algorithms Comparison
http://community.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlowRevisited
2. 刘汝佳《算法艺术与信息学竞赛》 P321 ( 注: 上面的代码似乎有误,retreat()部分未回退< 详见下文or 链接1. > )
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关键概念与性质:
距离函数(distance function),我们说一个距离函数是有效的当且仅当满足有效条件(valid function)
(1)d(t)= 0;
(2)d(i)<= d(j)+1(如果弧rij在残余网络G(x)中);
性质1:
如果距离标号是有效的,那么d(i)便是残余网络中从点i到汇点的距离的下限;
证明:
令任意的从i结点到汇点t长度为k的路径,设为i= i1-i2-i3...ik+1=t d(i(k)) <= d(i(k+1))+1= d(t)+1=1 d(i(k-1)) <= d(i(k))+1=2 d(i(k-2)) <= d(i(k-1))+1=3 : : d(i(1)) <= d(i(2))+1= k 由此可见,d(i)是i到t的距离下限
性质2:
允许弧(边):如果对于边rij>0,且d(i)= d(j)+1,那么称为允许边
允许路:一条从源点到汇点的且有允许弧组成的路径
允许路是从源点到汇点的最短增广路径。
证明:
(1)因为rij>0所以必然是一条增广路
(2)假设路径p是一条允许路包含k条弧,那么由d(i) = d(j)+1 可知,d(s)= k;
又因为d(s)是点s到汇点的距离下限,所以距离下限为k,所以p便是一条最短路。
性质3:
在sap算法中距离标号始终是正确,有效的。并且每次的冲标号都会是距离标号严格递增
证明:略;
伪代码:
//algorithm shortest augment path; void sap() { x =0; obtain the exact distance labels d(i); i = s; while (d(s)<n) { if (i has an admissible arc) { advance(i); if (i == t) { augment; i = s; } } else retreat(i); } } //procedure advance(i); void advance(i) { let(i,j)be an admissible arc in A(t); pre(j) = i; i = j; } //procedure retreat void retreat() { d(i) = min(d(j)+1):rij>0; if (i != s) i = pre(i); }
代码模板:
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> usingnamespace std; constint Max =225; constint oo =210000000; int n,m,c[Max][Max],r[Max][Max],c1[Max][Max],source,sink; //c1是c的反向网络,用于dis数组的初始化 int dis[Max]; void initialize()// 初始化dis数组 { int q[Max],head =0, tail =0;//BFS队列 memset(dis,0,sizeof(dis)); q[++head] = sink; while(tail < head) { int u = q[++tail], v; for(v =0; v <= sink; v++) { if(!dis[v] && c1[u][v] >0) { dis[v] = dis[u] +1; q[++head] = v; } } } } int maxflow_sap() { initialize(); int top = source, pre[Max], flow =0, i, j, k, low[Max]; // top是当前增广路中最前面一个点。 memset(low,0,sizeof(low));//low数组用于保存路径中的最小容量 while(dis[source] < n) { bool flag =false; low[source] = oo; for(i =0; i <= sink; i++)//找允许弧,根据允许弧的定义 { if(r[top][i] >0&& dis[top] == dis[i] +1) { flag =true; break; } } if(flag)// 如果找到允许弧 { low[i] = r[top][i]; if(low[i] > low[top]) low[i] = low[top];//更新low pre[i] = top; top = i; if(top == sink)// 如果找到一条增广路了 { flow += low[sink]; j = top; while(j != source)// 路径回溯更新残留网络 { k = pre[j]; r[k][j] -= low[sink]; r[j][k] += low[sink]; j = k; } top = source;//从头开始再找最短路 memset(low,0,sizeof(low)); } } else// 如果没有允许弧 { int mindis =10000000; for(j =0; j <= sink; j++)//找和top相邻dis最小的点 { if(r[top][j] >0&& mindis > dis[j] +1) mindis = dis[j] +1; } dis[top] = mindis;//更新top的距离值 if(top != source) top = pre[top];// 回溯找另外的路 } } return(flow); }
运用gap优化:
即当标号中出现了不连续标号的情况时,即可以证明已经不存在新的增广流,此时的流量即为最大流。
简单证明下:
假设不存在标号为k的结点,那么这时候可以将所有的结点分成两部分,一部分为d(i)>k,另一部分为d(i)<k
如此分成两份,因为性质2可知,允许路为最短的增广路,又因为不存在从>k部分到<k部分的增广流,那么有最
大流最小割定理可知此时便是最大流。
优化代码:要注意在标号的时候不能直接把所有的初始为0,而应该为-1,否则会在gap优化的时候出现问题,不满足递增的性质,切记!
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> usingnamespace std; constint Max =225; constint oo =210000000; int n,m,c[Max][Max],r[Max][Max],c1[Max][Max],source,sink; int gap[Max];//用gap来记录当前标号为i的个数,用于gap优化; //c1是c的反向网络,用于dis数组的初始化 int dis[Max]; void initialize()// 初始化dis数组 { memset(gap,0,sizeof(gap)); int q[Max],head =0, tail =0;//BFS队列 memset(dis,0xff,sizeof(dis)); q[++head] = sink; dis[sink] =0; gap[0]++; while(tail < head) { int u = q[++tail], v; for(v =0; v <= sink; v++) { if(!dis[v] && c1[u][v] >0) { dis[v] = dis[u] +1; gap[dis[v]]++; q[++head] = v; } } } } int maxflow_sap() { initialize(); int top = source, pre[Max], flow =0, i, j, k, low[Max]; // top是当前增广路中最前面一个点。 memset(low,0,sizeof(low));//low数组用于保存路径中的最小容量 while(dis[source] < n) { bool flag =false; low[source] = oo; for(i =0; i <= sink; i++)//找允许弧,根据允许弧的定义 { if(r[top][i] >0&& dis[top] == dis[i] +1&&dis[i]>=0) { flag =true; break; } } if(flag)// 如果找到允许弧 { low[i] = r[top][i]; if(low[i] > low[top]) low[i] = low[top];//更新low pre[i] = top; top = i; if(top == sink)// 如果找到一条增广路了 { flow += low[sink]; j = top; while(j != source)// 路径回溯更新残留网络 { k = pre[j]; r[k][j] -= low[sink]; r[j][k] += low[sink]; j = k; } top = source;//从头开始再找最短路 memset(low,0,sizeof(low)); } } else// 如果没有允许弧 { int mindis =10000000; for(j =0; j <= sink; j++)//找和top相邻dis最小的点 { if(r[top][j] >0&& mindis > dis[j] +1&&dis[j]>=0) mindis = dis[j] +1; } gap[dis[top]]--; if (gap[dis[top]] ==0) break; gap[mindis]++; dis[top] = mindis;//更新top的距离值 if(top != source) top = pre[top];// 回溯找另外的路 } } return(flow); }
注意:在运用sap的时候必须要时刻的保证标号的两个性质,因此,不能再初始标号的时候将全部初始为0层,因为有些点是不具有层数的,或者说是层数是无穷大的,不可达的。
网上找的比较清晰地模板sap,有各种优化:
按 Ctrl+C 复制代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 2100000000
#define MAXN 301
int SAP(int map[][MAXN],int v_count,int s,int t) //邻接矩阵,节点总数,始点,汇点
{
int i;
int cur_flow,max_flow,cur,min_label,temp; //当前流,最大流,当前节点,最小标号,临时变量
char flag; //标志当前是否有可行流
int cur_arc[MAXN],label[MAXN],neck[MAXN]; //当前弧,标号,瓶颈边的入点(姑且这么叫吧)
int label_count[MAXN],back_up[MAXN],pre[MAXN]; //标号为i节点的数量,cur_flow的纪录,当前流路径中前驱
//初始化
memset(label,0,MAXN*sizeof(int));
memset(label_count,0,MAXN*sizeof(int));
memset(cur_arc,0,MAXN*sizeof(int));
label_count[0]=v_count; //全部初始化为距离为0
neck[s]=s;
max_flow=0;
cur=s;
cur_flow=INF;
//循环代替递归
while(label[s]<v_count)
{
back_up[cur]=cur_flow;
flag=0;
//选择允许路径(此处还可用邻接表优化)
for(i=cur_arc[cur];i<v_count;i++) //当前弧优化
{
if(map[cur][i]!=0&&label[cur]==label[i]+1) //找到允许路径
{
flag=1;
cur_arc[cur]=i; //更新当前弧
if(map[cur][i]<cur_flow) //更新当前流
{
cur_flow=map[cur][i];
neck[i]=cur; //瓶颈为当前节点
}
else
{
neck[i]=neck[cur]; //瓶颈相对前驱节点不变
}
pre[i]=cur; //记录前驱
cur=i;
if(i==t) //找到可行流
{
max_flow+=cur_flow; //更新最大流
//修改残量网络
while(cur!=s)
{
if(map[pre[cur]][cur]!=INF)map[pre[cur]][cur]-=cur_flow;
back_up[cur] -= cur_flow;
if(map[cur][pre[cur]]!=INF)map[cur][pre[cur]]+=cur_flow;
cur=pre[cur];
}
//优化,瓶颈之后的节点出栈
cur=neck[t];
cur_flow=back_up[cur];
}
break;
}
}
if(flag)continue;
min_label=v_count-1; //初始化min_label为节点总数-1
//找到相邻的标号最小的节点
for(i=0;i<v_count;i++)
{
if(map[cur][i]!=0&&label[i]<min_label)
{
min_label=label[i];
temp=i;
}
}
cur_arc[cur]=temp; //记录当前弧,下次从提供最小标号的节点开始搜索
label_count[label[cur]]--; //修改标号纪录
if(label_count[label[cur]]==0)break; //GAP优化
label[cur]=min_label+1; //修改当前节点标号
label_count[label[cur]]++; //修改标号记录
if(cur!=s)
{
//从栈中弹出一个节点
cur=pre[cur];
cur_flow=back_up[cur];
}
}
return(max_flow);
}
按 Ctrl+C 复制代码
【转自】
http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/5783804
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