Hdu 3501 Calculation 2

欧拉函数的应用，以后看到互质的数第一个就要想到欧拉函数。今天又学到了好多家伙。

欧拉定理：

欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

费马小定理：

且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1 。

筛选法求欧拉函数，时间复杂度O(nloglogn)， CODE：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
using namespace std;

const int SIZE = 1001;
int phi[SIZE];

void init()
{
int i, j;
memset(phi, 0, sizeof(phi));
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i < SIZE; i++) if(!phi[i])
{
for(j = i; j < SIZE; j+=i)
{
if(!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
}
}
return ;
}

int main()
{
init();
int n;
while(~scanf("%d", &n))
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
printf(i != n?"%d ":"%d\n", phi[i]);
}
}
return 0;}

求一个整数的欧拉函数值,CODE:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
using namespace std;

int euler_phi(int n)
{
int m = floor(sqrt(n+0.5));
int ans = n;
for(int i = 2; i <= m; i++) if(n%i == 0)
{
ans = ans / i * (i-1);
while(n%i == 0)
{
n /= i;
}
}
if(n > 1) ans = ans / n *(n-1);
return ans;
}

int main()
{
int n;
while(~scanf("%d", &n), n)
{
printf("%d\n", euler_phi(n));
}
return 0;
}

题目大意：求小于n并且与n不互质的数的和。

思路：由于数据范围比较大，显然需要用到__int64，暴力解决是不可能的。由于在poj做了一道求小于n且与n互质的数的和，所以可以直接总和减一下就行了。设小于N且与N互质的正整数之和, 设为ans. 不妨设这些数为a[0],a[1], a[2], ..., a[ phi(N)-1 ], 由gcd(N, a[i]) =1,那么gcd(N,N - a[i]) =1 这样, N - a[0], N - a[1], ..., N - a[ phi(N)-1]与原数列相同, 从而: ans = a[0] + a[1] + ... + a[ phi(N) -1] ans= (N - a[0]) + (N - a[1]) + ... + (N - a[ phi
-1 ]);两式相加得 ans=N*phi
/2; //那么结果就显然了res=(N-1)*N/2-ans; CODE：#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
using namespace std;

#define MOD 1000000007;

__int64 euler_phi(__int64 n)
{
int m = floor(sqrt(n+0.5));
__int64 ans = n;
for(int i = 2; i <= m; i++) if(n%i == 0)
{
ans = ans / i * (i-1);
while(n%i == 0)
{
n /= i;
}
}
if(n > 1) ans = ans / n * (n-1);
return ans;
}

int main()
{
__int64 n, dif;
while(~scanf("%I64d", &n), n)
{
dif = ((n*(n-1)-n*euler_phi(n))/2)%MOD;
while(dif < 0) dif += MOD;
printf("%I64d\n", dif);
}
return 0;}