康拓展开及应用

康拓展开及应用

　　题目：给出n个互不相同的字符, 并给定它们的相对大小顺序,这样n个字符的所有排列也会有一个顺序. 现在任给一个排列,求出在它后面的第i个排列.

这是一个典型的康拓展开应用，首先我们先阐述一下什么是康拓展开。

（1）康拓展开

　　所谓康拓展开是指把一个整数X展开成如下形式：

　　X=a
*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）应用实例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。他们间的对应关系可由康托展开来找到。
　　1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：
　　第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! ；
　　第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，即1未出现在前面的低位当中，所以只有一个数2 1*2! ；
　　第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，即1未出现在前面的低位当中，所以有0个数 0*1! ；
　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
其代码实现为：


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Code

1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int Cantor(int *s,int n);  //康托展开，判断给定的排列位于全排列中的第几个
 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 7 
 8 int main(int argc,char *argv)
 9 {
10     int s[4]={2,1,3,4};   //表示排列2134
11     int len=4;        //表示数列中数字数目
12     int index=Cantor(s,len);
13     cout<<index<<endl;
14     return 0;
15 }
16 int Cantor(int *s,int n)
17 {
18     int i,j,num,temp;
19     num=0;
20     for(i=0;i<n;i++)
21     {
22         temp=0;     //temp记录当前数位前面的低数位中小于当前位数上的数字的个数
23         for(j=i+1;j<n;j++)
24             if(s[j]<s[i])
25                 temp++;
26         num+=fac[n-1-i]*temp;  //乘以相应的阶乘
27     }
28     return num;
29 }

　　如何判断给定一个位置，输出该位置上的数列，康拓展开的逆运算，例如：
　　{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，请找出第96个数：

　　 首先用96-1得到95
　　用95去除4! 得到3余23，即有3个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为4；
　　用23去除3! 得到3余5，即有3个数比该数位上的数字小，理应为4，但4已在前面的高位中出现过，所以该数位的数字为5；
　　用5去除2!得到2余1，即有2个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为3；
　　用1去除1!得到1余0，即有1个数比该数位上的数字小，则该数位的数字为2；
　　最后一个数只能是1；
　　所以这个数是45321
其代码实现：


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Code

1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 void CantorReverse(int index,int *p,int n);  //康托展开逆用，判断给定的位置中的排列
 5 long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //表示阶乘运算的结果
 6 //long int fac[]={0!,1!,2!,3!,4!,5!,6!,7!,8!,9!};
 7 
 8 int main(int argc,char *argv)
 9 {
10     int len=5; 
11     int *s=(int *)malloc(len*sizeof(int));
12     CantorReverse(96,s,len);  //有数字{12345}组成的所有排列中，求出第96个排列的顺序
13     for(int i=0;i<len;i++)
14         cout<<s[i];
15     cout<<endl;
16     free(s);
17     return 0;
18 }
19 void CantorReverse(int index,int *p,int n)
20 {
21     index--;     //勿丢
22     int i,j;
23     bool hash[10]={0};
24     for(i=0;i<n;i++)
25     {
26         int tmp=index/fac[n-1-i];  //tmp表示有tmp个数字比当前位置上的数字小
27         for(j=0;j<=tmp;j++)
28             if(hash[j]) tmp++;
29         p[i]=tmp+1;
30         hash[tmp]=1; 
31         index%=fac[n-1-i];
32     }
33     return;
34 }

（2）题目解决
　　通过以上分析，则本章开头提出的题目就迎刃而解了，先通过给定的序列，求出所在位置，再加上i，得到 i 以后的位置，最后根据位置求出序列。相信大家能自己写出程序，在此就不具体写出了。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int kMaxFac = 20;
const int kMaxN = 20;

int fac[kMaxFac];
int permutation[kMaxN];
int n;

int CalcFac(int n) {
  if (n == 0) {
    return fac[0] = 1;
  } else {
    return fac
 = CalcFac(n - 1) * n;
  }
}

int Cantor() {
  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    int t = 0;
    for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
      if (permutation[j] < permutation[i]) {
        t++;
      }
    }
    ans += t * fac[n-i];
  }
  return ans + 1;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);

  cin >> n;
  CalcFac(n);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> permutation[i];
  }

  cout << Cantor() << endl;
  return 0;
}

可用以解决八数码问题。