【算法与数据结构】三分查找
2012-08-18 09:36
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一. 概念
在二分查找的基础上,在右区间(或左区间)再进行一次二分,这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。三分查找通常用来迅速确定最值。
二分查找所面向的搜索序列的要求是:具有单调性(不一定严格单调);没有单调性的序列不是使用二分查找。
与二分查找不同的是,三分法所面向的搜索序列的要求是:序列为一个凸性函数。通俗来讲,就是该序列必须有一个最大值(或最小值),在最大值(最小值)的左侧序列,必须满足不严格单调递增(递减),右侧序列必须满足不严格单调递减(递增)。如下图,表示一个有最大值的凸性函数:
二、算法过程
(1)、与二分法类似,先取整个区间的中间值mid。mid = (left + right) / 2;
(2)、再取右侧区间的中间值midmid,从而把区间分为三个小区间。
midmid = (mid + right) / 2;(3)、我们mid比midmid更靠近最值,我们就舍弃右区间,否则我们舍弃左区间?。
比较mid与midmid谁最靠近最值,只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时,mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。
if (cal(mid) > cal(midmid)) right = midmid; else left = mid;
(4)、重复(1)(2)(3)直至找到最值。
算法的正确性:
1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值(最小值)任意一侧都具有单调性,因此,mid与midmid中,更大(小)的那个 数自然更为靠近最值。此时,我们远离最值的那个区间不可能包含最值,因此可以舍弃。
2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间,因此我们舍弃一个区间后,并不会影响到最值
三、具体实现
const double EPS = 1e-10; double calc(double x) { // f(x) = -(x-3)^2 + 2; return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2; } double ternarySearch(double low, double high) { double mid, midmid; while (low + EPS < high) { mid = (low + high) / 2; midmid = (mid + high) / 2; double mid_value = calc(mid); double midmid_value = calc(midmid); if (mid_value > midmid_value) high = midmid; else low = mid; } return low; }
调用ternarySearch(0, 6),返回的结果为3.0000
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