博弈论（1）： 巴什博奕

（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规

定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1)*r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十
个，谁能报到100者胜。
巴什博弈博弈论里面最简单的一种形式。以下题目利用巴什博弈可以轻松解决：

1. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846 （brave game）

2. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147 （kiki's game）

3. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149 （public sale）

4. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2188 （选拔志愿者）

下面介绍分析此类题目的通用方法：P/N分析：

P点： 即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；

N点： 即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。

三个定理：

定理：

一、 所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；

二、所有一步能走到必败点P的就是N点；

三、通过一步操作只能到N点的就是P点；

以上题目均可以通过P/N分析法来解决。

View Code

/*
problem : 2188
*/
#include<stdio.h>
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m) ;
if( n % (m+1)  )
printf("Grass\n") ;
else
printf("Rabbit\n");
}
return 0;
}

/*
problem : 2149
*/
#include<stdio.h>
int main(){
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
if(n%(m+1)){
while(n < m)
printf("%d ",n++) ;
printf("%d\n",n%(m+1)) ;
}
else
printf("none\n") ;
}
return 0;
}

/*
problem : 2147
*/
#include<stdio.h>
int main(){
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m) && n){
if(n%2 && m%2)
printf("What a pity!\n");
else
printf("Wonderful!\n");
}
return 0;
}

/*
problem : 2188
*/
#include<stdio.h>
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m) ;
if( n % (m+1)  )
printf("Grass\n") ;
else
printf("Rabbit\n");
}
return 0;
}