计算几何模板

正文

㈠ 点的基本运算

1. 平面上两点之间距离 1

2. 判断两点是否重合 1

3. 矢量叉乘 1

4. 矢量点乘 2

5. 判断点是否在线段上 2

6. 求一点饶某点旋转后的坐标 2

7. 求矢量夹角 2

㈡ 线段及直线的基本运算

1. 点与线段的关系 3

2. 求点到线段所在直线垂线的垂足 4

3. 点到线段的最近点 4

4. 点到线段所在直线的距离 4

5. 点到折线集的最近距离 4

6. 判断圆是否在多边形内 5

7. 求矢量夹角余弦 5

8. 求线段之间的夹角 5

9. 判断线段是否相交 6

10.判断线段是否相交但不交在端点处 6

11.求线段所在直线的方程 6

12.求直线的斜率 7

13.求直线的倾斜角 7

14.求点关于某直线的对称点 7

15.判断两条直线是否相交及求直线交点 7

16.判断线段是否相交，如果相交返回交点 7

㈢ 多边形常用算法模块

1. 判断多边形是否简单多边形 8

2. 检查多边形顶点的凸凹性 9

3. 判断多边形是否凸多边形 9

4. 求多边形面积 9

5. 判断多边形顶点的排列方向，方法一 10

6. 判断多边形顶点的排列方向，方法二 10

7. 射线法判断点是否在多边形内 10

8. 判断点是否在凸多边形内 11

9. 寻找点集的graham算法 12

10.寻找点集凸包的卷包裹法 13

11.判断线段是否在多边形内 14

12.求简单多边形的重心 15

13.求凸多边形的重心 17

14.求肯定在给定多边形内的一个点 17

15.求从多边形外一点出发到该多边形的切线 18

16.判断多边形的核是否存在 19

㈣ 圆的基本运算

1 .点是否在圆内 20

2 .求不共线的三点所确定的圆 21

㈤ 矩形的基本运算

1.已知矩形三点坐标，求第4点坐标 22

㈥ 常用算法的描述 22

㈦ 补充

1．两圆关系： 24

2．判断圆是否在矩形内： 24

3．点到平面的距离： 25

4．点是否在直线同侧： 25

5．镜面反射线： 25

6．矩形包含： 26

7．两圆交点： 27

8．两圆公共面积： 28

9. 圆和直线关系： 29

10. 内切圆： 30

11. 求切点： 31

12. 线段的左右旋： 31

13．公式： 32

/* 需要包含的头文件 */

#include

/* 常用的常量定义 */

const double INF = 1E200

const double EP = 1E-10

const int MAXV = 300

const double PI = 3.14159265

/* 基本几何结构 */

struct POINT

{

double x;

double y; POINT(double a=0, double b=0) { x=a; y=b;} file://constructor/

};

struct LINESEG

{

POINT s;

POINT e; LINESEG(POINT a, POINT b) { s=a; e=b;}

LINESEG() { }

};

struct LINE // 直线的解析方程 a*x+b*y+c=0 为统一表示，约定 a >= 0

{

double a;

double b;

double c; LINE(double d1=1, double d2=-1, double d3=0) {a=d1; b=d2; c=d3;}

};

/********************\

* *

* 点的基本运算 *

* *

\********************/

double dist(POINT p1,POINT p2) // 返回两点之间欧氏距离

{

return( sqrt( (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y) ) );

}

bool equal_point(POINT p1,POINT p2) // 判断两个点是否重合

{

return ( (abs(p1.x-p2.x)}

/*****************************************************************************

*

r=multiply(sp,ep,op),得到(sp-op)*(ep-op)的叉积

r>0:ep在矢量opsp的逆时针方向；

r=0：opspep三点共线；

r<0:ep在矢量opsp的顺时针方向

******************************************************************************

*/

double multiply(POINT sp,POINT ep,POINT op)

{

return((sp.x-op.x)*(ep.y-op.y)-(ep.x-op.x)*(sp.y-op.y));

}

/*****************************************************************************

**

r=dotmultiply(p1,p2,op),得到矢量(p1-op)和(p2-op)的点积，如果两个矢量都非零矢量

r<0:两矢量夹角为锐角；r=0：两矢量夹角为直角；r>0:两矢量夹角为钝角

******************************************************************************

*/

double dotmultiply(POINT p1,POINT p2,POINT p0)

{

return ((p1.x-p0.x)*(p2.x-p0.x)+(p1.y-p0.y)*(p2.y-p0.y));

}

/* 判断点p是否在线段l上，条件：(p在线段l所在的直线上)&& (点p在以线段l为对角线的

矩形内) */

bool online(LINESEG l,POINT p)

{

return((multiply(l.e,p,l.s)==0)

&&( ( (p.x-l.s.x)*(p.x-l.e.x)<=0 )&&( (p.y-l.s.y)*(p.y-l.e.y)<=0 ) ) );

}

// 返回点p以点o为圆心逆时针旋转alpha(单位：弧度)后所在的位置

POINT rotate(POINT o,double alpha,POINT p)

{

POINT tp;

p.x-=o.x;

p.y-=o.y;

tp.x=p.x*cos(alpha)-p.y*sin(alpha)+o.x;

tp.y=p.y*cos(alpha)+p.x*sin(alpha)+o.y;

return tp;

}

/* 返回顶角在o点，起始边为os，终止边为oe的夹角(单位：弧度)

角度小于pi，返回正值

角度大于pi，返回负值

可以用于求线段之间的夹角

*/

double angle(POINT o,POINT s,POINT e)

{

double cosfi,fi,norm;

double dsx = s.x - o.x;

double dsy = s.y - o.y;

double dex = e.x - o.x;

double dey = e.y - o.y;

cosfi=dsx*dex+dsy*dey;

norm=(dsx*dsx+dey*dey)*(dex*dex+dey*dey);

cosfi /= sqrt( norm );

if (cosfi >= 1.0 ) return 0;

if (cosfi <= -1.0 ) return -3.1415926;

fi=acos(cosfi);

if (dsx*dey-dsy*dex>0) return fi; // 说明矢量os 在矢量 oe的顺时针方向

return -fi;

}

/*****************************\

* *

* 线段及直线的基本运算 *

* *

\*****************************/

/* 判断点与线段的关系,用途很广泛

本函数是根据下面的公式写的，P是点C到线段AB所在直线的垂足

AC dot AB

r = ---------

||AB||^2

(Cx-Ax)(Bx-Ax) + (Cy-Ay)(By-Ay)

= -------------------------------

L^2

r has the following meaning:

r=0 P = A

r=1 P = B

r<0 P is on the backward extension of AB

r>1 P is on the forward extension of AB

0*/

double relation(POINT p,LINESEG l)

{

LINESEG tl;

tl.s=l.s;

tl.e=p;

return dotmultiply(tl.e,l.e,l.s)/(dist(l.s,l.e)*dist(l.s,l.e));

}

// 求点C到线段AB所在直线的垂足 P

POINT perpendicular(POINT p,LINESEG l)

{

double r=relation(p,l);

POINT tp;

tp.x=l.s.x+r*(l.e.x-l.s.x);

tp.y=l.s.y+r*(l.e.y-l.s.y);

return tp;

}

/* 求点p到线段l的最短距离,并返回线段上距该点最近的点np

注意：np是线段l上到点p最近的点，不一定是垂足 */

double ptolinesegdist(POINT p,LINESEG l,POINT &np)

{

double r=relation(p,l);

if(r<0)

{

np=l.s;

return dist(p,l.s);

}

if(r>1)

{

np=l.e;

return dist(p,l.e);

}

np=perpendicular(p,l);

return dist(p,np);

}

// 求点p到线段l所在直线的距离,请注意本函数与上个函数的区别

double ptoldist(POINT p,LINESEG l)

{

return abs(multiply(p,l.e,l.s))/dist(l.s,l.e);

}

/* 计算点到折线集的最近距离,并返回最近点.

注意：调用的是ptolineseg()函数 */

double ptopointset(int vcount,POINT pointset[],POINT p,POINT &q)

{

int i;

double cd=double(INF),td;

LINESEG l;

POINT tq,cq;

for(i=0;i{

l.s=pointset[i];

l.e=pointset[i+1];

td=ptolinesegdist(p,l,tq);

if(td{

cd=td;

cq=tq;

}

}

q=cq;

return cd;

}

/* 判断圆是否在多边形内.ptolineseg()函数的应用2 */

bool CircleInsidePolygon(int vcount,POINT center,double radius,POINT polygon[]

)

{

POINT q;

double d;

q.x=0;

q.y=0;

d=ptopointset(vcount,polygon,center,q);

if(dreturn true;

else

return false;

}

/* 返回两个矢量l1和l2的夹角的余弦(-1 --- 1)注意：如果想从余弦求夹角的话，注意反

余弦函数的定义域是从 0到pi */

double cosine(LINESEG l1,LINESEG l2)

{

return (((l1.e.x-l1.s.x)*(l2.e.x-l2.s.x) +

(l1.e.y-l1.s.y)*(l2.e.y-l2.s.y))/(dist(l1.e,l1.s)*dist(l2.e,l2.s))) );

}

// 返回线段l1与l2之间的夹角 单位：弧度 范围(-pi，pi)

double lsangle(LINESEG l1,LINESEG l2)

{

POINT o,s,e;

o.x=o.y=0;

s.x=l1.e.x-l1.s.x;

s.y=l1.e.y-l1.s.y;

e.x=l2.e.x-l2.s.x;

e.y=l2.e.y-l2.s.y;

return angle(o,s,e);

}

// 如果线段u和v相交(包括相交在端点处)时，返回true

bool intersect(LINESEG u,LINESEG v)

{

return( (max(u.s.x,u.e.x)>=min(v.s.x,v.e.x))&& file://排斥实验

(max(v.s.x,v.e.x)>=min(u.s.x,u.e.x))&&

(max(u.s.y,u.e.y)>=min(v.s.y,v.e.y))&&

(max(v.s.y,v.e.y)>=min(u.s.y,u.e.y))&&

(multiply(v.s,u.e,u.s)*multiply(u.e,v.e,u.s)>=0)&& file://跨立实验

(multiply(u.s,v.e,v.s)*multiply(v.e,u.e,v.s)>=0));

}

// (线段u和v相交)&&(交点不是双方的端点) 时返回true

bool intersect_A(LINESEG u,LINESEG v)

{

return((intersect(u,v))&&

(!online(u,v.s))&&

(!online(u,v.e))&&

(!online(v,u.e))&&

(!online(v,u.s)));

}

// 线段v所在直线与线段u相交时返回true；方法：判断线段u是否跨立线段v

bool intersect_l(LINESEG u,LINESEG v)

{

return multiply(u.s,v.e,v.s)*multiply(v.e,u.e,v.s)>=0;

}

The centre of polygon (多边形重心)

Given a polygon, your task is to find the centre of gravity for the given polygon.

#include<stdio.h>
#include<math.h>
struct point
{
double x,y;
}pp[1000008];
point becenter(point pnt[],int m)//借的模板；
{
point p,s;
double tp,area=0,tpx=0,tpy=0;
int i;
p.x=pnt[0].x,p.y=pnt[0].y;
for(i=1;i<=m;i++)
{
s.x=pnt[i%m].x;
s.y=pnt[i%m].y;
tp=(p.x*s.y-s.x*p.y);
area+=tp/2;
tpx+=(p.x+s.x)*tp;
tpy+=(p.y+s.y)*tp;
p.x=s.x;p.y=s.y;
}
s.x=tpx/(6*area);
s.y=tpy/(6*area);
//printf("tpx=%.2lf tpy=%.2lf area=%.2lf\n",tpx,tpy,area);
//printf("%.2lf %.2lf\n",s.x,s.y);
return s;
}
int main()
{
int i,j;
double l,k,d,n;
int ncase,m;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
scanf("%d",&m);
for(i=0;i<m;i++)
scanf("%lf%lf",&pp[i].x,&pp[i].y);
point c=becenter(pp,m);
printf("%.2lf %.2lf\n",c.x,c.y);
}
return 0;
}

多边形与圆交面积

double sign( double x ){

if( x < -eps ) return -1;

return x > eps;

}

struct point{

double x, y ;

point(){}

point(double x, double y):x(x),y(y){}

double operator *(const point &b)const{

return x * b.y - y * b.x;

}

point operator -(const point &b)const{

return point( x - b.x, y - b.y );

}

void in(){

scanf("%lf%lf",&x,&y);

}

}p[maxn] , q[maxn], o;

double r ,ans ; // 已原点为圆心的圆半径

////圆o与线段x-y的交点,,如果存在顺序存入p[0]和p[1],,返回交点的个数

int xianduan_jiao_yuan( point o, double r,point u, point v, point &o1, point &o2){

u = u - o; v = v - o;

point w = v - u ;

double a = w.x * w.x + w.y * w.y ;

double b = w.x * u.x * 2 + w.y * u.y * 2;

double c = u.x * u.x + u.y * u.y - r * r;

double d = b * b - 4 * a * c;

if( sign( d ) < 0) return 0;

d = sqrt( d );

double t1 = ( - b + d )/2/a, t2 = ( - b - d )/2/a;

if( t1 > t2 ) swap( t1, t2 );

int ans = 0;

////注意这里端点在圆上没有算作相交,有需要改成等号既可

if( sign( t1 ) > 0 && sign( t1 - 1 ) < 0 ){

ans ++ ;

o1 = point( u.x + w.x * t1 + o.x, u.y + w.y*t1+o.y);

}////注意重根这里算作了一个交点,,

if(sign( t1 - t2) != 0 && sign(t2)>0&&sign(t2-1)<0){

ans ++;

if( ans == 1 ) o1 = point( u.x+w.x*t2+o.x,u.y+w.y*t2+o.y );

else o2 = point( u.x+w.x*t2+o.x,u.y+w.y*t2+o.y );

}

return ans ;

}

double get( point p[], int n ){

double ans = 0;

for( int i = 1; i < n; i ++ ){

point a, b;

a = p[ i - 1]; b = p[ i ];//只要有一个人在圆外面 那就只需要计算扇形的面积即可

if( sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y) - r > eps || sqrt( b.x * b.x + b.y*b.y) - r > eps ){

double t = atan2(b.y , b.x ) - atan2(a.y , a.x ) ;

while( t - pi > eps ) t -= pi * 2 ;//t的范围是( -pi , pi )

while( t + pi < -eps ) t += pi * 2 ;

ans += t * r * r ;

}else ans += a * b ; //叉乘 这个在圆里面

}

return ans ;

}

void add( point a , point b ){

point p1, p2;

int end = 0;

p[end++] = a;

point o1, o2;

int t = xianduan_jiao_yuan(point(0,0),r,a,b,o1,o2);

if( t >= 1) p[end++] = o1;

if( t >= 2) p[end++] = o2;

p[end++] = b;

ans += get( p, end );

}

int main(){

//o:圆心

ans=0;

scanf("%d",&n);

for( i = 0; i < n; i ++ ){

scanf("%lf%lf",&q[i].x, &q[i].y );

q[i] = q[i] - o;

}

q
= q[0];

for( i =0; i < n; i++ ){

add( q[i], q[i+1] );

}

printf("%.2lf\n",fabs(ans)/2);

return 0;

}

struct point1{
double x, y ;
point1(){}
point1(double x, double y):x(x),y(y){}
double operator *(const point1 &b)const{
return x * b.y - y * b.x;
}
point1 operator -(const point1 &b)const{
return point1( x - b.x, y - b.y );
}
void in(){
scanf("%lf%lf",&x,&y);
}
}p[maxn] , q[maxn], o;

const double eps = 1e-10;
inline double max (double a, double b) { if (a > b) return a; else return b; }
inline double min (double a, double b) { if (a < b) return a; else return b; }
inline int fi (double a)
{
if (a > eps) return 1;
else if (a >= -eps) return 0;
else return -1;
}
class vector
{
public:
double x, y;
vector (void) {}
vector (double x0, double y0) : x(x0), y(y0) {}
double operator * (const vector& a) const { return x * a.y - y * a.x; }
double operator % (const vector& a) const { return x * a.x + y * a.y; }
vector verti (void) const { return vector(-y, x); }
double length (void) const { return sqrt(x * x + y * y); }
vector adjust (double len)
{
double ol = len / length();
return vector(x * ol, y * ol);
}
vector oppose (void) { return vector(-x, -y); }
};
class point
{
public:
double x, y;
point (void) {}
point (double x0, double y0) : x(x0), y(y0) {}
vector operator - (const point& a) const { return vector(x - a.x, y - a.y); }
point operator + (const vector& a) const { return point(x + a.x, y + a.y); }
};
class segment
{
public:
point a, b;
segment (void) {}
segment (point a0, point b0) : a(a0), b(b0) {}
point intersect (const segment& s) const
{
vector v1 = s.a - a, v2 = s.b - a, v3 = s.b - b, v4 = s.a - b;
double s1 = v1 * v2, s2 = v3 * v4;
double se = s1 + s2;
s1 /= se, s2 /= se;
return point(a.x * s2 + b.x * s1, a.y * s2 + b.y * s1);
}
point pverti (const point& p) const
{
vector t = (b - a).verti();
segment uv(p, p + t);
return intersect(uv);
}
bool on_segment (const point& p) const
{
if (fi(min(a.x, b.x) - p.x) <= 0 && fi(p.x - max(a.x, b.x)) <= 0 &&
fi(min(a.y, b.y) - p.y) <= 0 && fi(p.y - max(a.y, b.y)) <= 0) return true;
else return false;
}
};
double radius;
point polygon[550];
double kuras_area (point a, point b)
{
point ori(0, 0);
int sgn = fi((b - ori) * (a - ori));
double da = (a - ori).length(), db = (b - ori).length();
int ra = fi(da - radius), rb = fi(db - radius);
double angle = acos(((b - ori) % (a - ori)) / (da * db));
segment t(a, b); point h, u; vector seg;
double ans, dlt, mov, tangle;

if (fi(da) == 0 || fi(db) == 0) return 0;
else if (sgn == 0) return 0;
else if (ra <= 0 && rb <= 0) return fabs((b - ori) * (a - ori)) / 2 * sgn;
else if (ra >= 0 && rb >= 0)
{
h = t.pverti(ori);
dlt = (h - ori).length();
if (!t.on_segment(h) || fi(dlt - radius) >= 0)
return radius * radius * (angle / 2) * sgn;
else
{
ans = radius * radius * (angle / 2);
tangle = acos(dlt / radius);
ans -= radius * radius * tangle;
ans += radius * sin(tangle) * dlt;
return ans * sgn;
}
}
else
{
h = t.pverti(ori);
dlt = (h - ori).length();
seg = b - a;
mov = sqrt(radius * radius - dlt * dlt);
seg = seg.adjust(mov);
if (t.on_segment(h + seg)) u = h + seg;
else u = h + seg.oppose();
if (ra == 1) swap(a, b);
ans = fabs((a - ori) * (u - ori)) / 2;
tangle = acos(((u - ori) % (b - ori)) / ((u - ori).length() * (b - ori).length()));
ans += radius * radius * (tangle / 2);
return ans * sgn;
}
}

int main()
{

//o:圆心
     double x,y;
scanf("%d",&n);
for (i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%lf %lf", &x, &y);
x-=o.x;
y-=o.y;
polygon[i] = point(x, y);
}
double area = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
area += kuras_area(polygon[i], polygon[(i + 1) % n]);
printf("%.2f\n", fabs(area));

return 0;
}