时间复杂度的计算
2012-08-15 09:31
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时间复杂度计算
学习数据结构时,觉得时间复杂度计算很复杂,怎么也看不懂,差不多三年之后,还是不懂,马上就要找工作了,赶紧恶补一下吧: 首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级。 当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。 此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。 常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)。 1. 大O表示法 定义 设一个程序的时间复杂度用一个函数 T(n) 来表示,对于一个查找算法,如下: int seqsearch( int a[], const int n, const int x) { int i = 0; for (; a[i] != x && i < n ; i++ ); if ( i == n) return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较,找出与之相等地元素。 在第一个元素就找到需要比较一次,在第二个元素找到需要比较2次,…… ,在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组,如果每个元素被找到的概率相等,那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + ... + 1) = (n+1)/2 = O(n) 这就是传说中的大O函数的原始定义。 用大O来表述 要全面分析一个算法,需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价,和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况,采用大O表示法的一般提法(注意,这里用的是“一般提法”)是:当且仅当存在正整数c和n0,使得 T(n) <= c*f(n)对于所有的n >= n0 都成立。则称该算法的渐进时间复杂度为T(n) = O(f(n))。这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f(n) = (n+1)/2, 那么c * f(n)也就是一个一次函数。就是在图象上看就是如果这个函数在c*f(n)的下面,就是复杂度为T(n) = O(f(n))。 对于对数级,我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。 规则 1) 加法规则 T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) 2) 乘法规则 T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m)) 3)一个特例 在大O表示法里面有一个特例,如果T1(n) = O©, c是一个与n无关的任意常数,T2(n) = O ( f(n) ) 则有 T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ). 也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O(1)。 4)一个经验规则 有如下复杂度关系 c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n! 其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意. 1)基本知识点:没有循环的一段程序的复杂度是常数,一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n^2)? (我用^2表示平方,同理 ^3表示立方); 2)二维矩阵的标准差,残差,信息熵,fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能O(n),FFT2是O(nlog(n)),DWT2可能也是O(nlog(n));信息熵要求概率,而dct的过程和jpeg一样。因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=T*X*T',Z=Y.*Mask,这样子,还有分成8*8子图像了; 3)example: 1、设三个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立: (1) f(n)=O(g(n)) (2) g(n)=O(f(n)) (3) h(n)=O(n^1.5) (4) h(n)=O(nlgn) 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)),这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数,则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常数。这么一来,就好计算了吧。 ◆ (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的。 ◆ (2)成立。与上同理。 ◆ (3)成立。与上同理。 ◆ (4)不成立。由于当n→∞时n^1.5比nlgn递增的快,所以h(n)与nlgn的比值不是常数,故不成立。 2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数。 (1) i=1; k=0 while(i<n) { k=k+10*i;i++; } 解答:T(n)=n-1, T(n)=O(n), 这个函数是按线性阶递增的。 (2) x=n; // n>1 while (x>=(y+1)*(y+1)) y++; 解答:T(n)=n1/2 ,T(n)=O(n1/2),最坏的情况是y=0,那么循环的次数是n1/2次,这是一个按平方根阶递增的函数。 (3) x=91; y=100; while(y>0) if(x>100) {x=x-10;y--;} else x++; 解答: T(n)=O(1),这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1000次,但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的,就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数。 同一问题可用不同算法解决,而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。 1、时间复杂度 (1)时间频度 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 (2)时间复杂度 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。 在各种不同算法中,若算法中语句执行次数为一个常数,则时间复杂度为O(1),另外,在时间频度不相同时,时间复杂度有可能相同,如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。 按数量级递增排列,常见的时间复杂度有: 常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3),..., k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。 2、空间复杂度 与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。讨论方法与时间复杂度类似,不再赘述。
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