矩阵连乘 动态规划
2012-08-14 11:10
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动态规划——矩阵连乘的问题 链接网址:tyvj1198最有矩阵连乘
《问题的引出》
看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3};维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50
按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次
按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10X5X50+10X100X50=75000次
所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。
枚举显然不可,如果枚举的话,相当于一个“完全加括号问题”,次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长,必然不行。
《建立递归关系》
子问题状态的建模(很关键):令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。
显然如果i=j,则m[i][j]这段中就一个矩阵,需要计算的次数为0;
如果i>j,则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡,所以i<=k<j ;
代码实现时需要注意的问题:计算顺序!!!
因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候,m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。
矩阵计算的顺序:相应的计算顺序对应代码为12-16行
m[1]
即为最终求解,最终的输出想为((A1(A2 A3))((A4 A5)A6))的形式;
《问题的引出》
看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3};维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50
按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次
按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10X5X50+10X100X50=75000次
所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。
枚举显然不可,如果枚举的话,相当于一个“完全加括号问题”,次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长,必然不行。
《建立递归关系》
子问题状态的建模(很关键):令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。
显然如果i=j,则m[i][j]这段中就一个矩阵,需要计算的次数为0;
如果i>j,则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡,所以i<=k<j ;
代码实现时需要注意的问题:计算顺序!!!
因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候,m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。
矩阵计算的顺序:相应的计算顺序对应代码为12-16行
m[1]
即为最终求解,最终的输出想为((A1(A2 A3))((A4 A5)A6))的形式;
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int MAX = 105; //p用来记录矩阵的行列,main函数中有说明 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解 int p[MAX+1],m[MAX][MAX]; int n;//矩阵个数 void matrixChain(){ for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环 for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环 int j = r+i-1;//列的控制 //找m[i][j]的最小值,先初始化一下,令k=i m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//m[i][j]是算i到j矩阵连乘的结果 //其中i到j 的范围是从 2 3 4 一步一步递增到 n //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值 for(int k = i+1;k<j;k++){ m[i][j]=min(m[i][j],m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]); } } } int main(){ cin>>n; for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i]; //测试数据可以设为六个矩阵分别为 //A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25] //则p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25} //输入:6 30 35 15 5 10 20 25 matrixChain(); //最终解值为m[1] ; cout<<m[1] <<endl; //system("pause"); return 0; }
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