POJ 1716 Integer Intervals【差分约束】

题意: 知道了数轴上的n个区间，每个区间都是连续的int区间，现在要在数轴上任意取一堆元素，构成一个元素集合V要求每个区间和元素集合V的交集至少有两个不同的元素

求集合V最小的元素个数。

转一分析：（差分约束）

设s[x] = 从0 到x 的所有在集合中的数的个数

则ai到bi的个数即S[bi] - S[ai-1]。
因此有

(1) S[bi] - S[ai-1] >= 2。

又根据s[x]本身的性质，
后面的一定不比前面的小，后面的最多比前面多一，有：
(2) s[i + 1] - s[i] >= 0
(3) s[i + 1] - s[i] <= 1
故建图,使图中每一组边，均满足（注意三条式子的不等号方向要一致，这个很重要）:
S[ai - 1] <= S[bi] - 2
S[i] <= S[i - 1] + 1
S[i - 1] <= S[i]

上面三式，可把s[x]看作源点（假设存在）到各点的最短距离，初始化为0；

常数为边(ai – 1，bi)的边权
当存在不满足这三条式子的边时，对这条边进行Relax操作，更新不等号左边的变量。

其实就是Bellman-Ford算法的核心部分

if( S[ai - 1] > S[bi] – 2 ) S[ai - 1] = S[bi] – 2 ；

if( S[i] > S[i - 1] + 1 ) S[i] > S[i - 1] + 1 ；

if( S[i - 1] > S[i] ) S[i - 1] = S[i] ；

最后源点到最大顶点的距离减去源点到最小顶点的距离就是所求（其实一个单位距离就代表V中的一个元素；最小顶点到最大顶点其实就是所有输入的区间中，最小的左端点到最大的右端点这个范围）。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define INF 0x1f1f1f1f
struct node
{
int s,e;
}q[10001];
int dis[10001];
int n;
int low,high;
int main()
{
int a,b,i,flag;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
low=INF;
high=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
q[i].s=a;
q[i].e=b+1;
if(q[i].s<low)
low=q[i].s;
if(q[i].e>high)
high=q[i].e;
dis[i]=0;
}
flag=1;
while(flag)
{
flag=0;
for(i=0;i<n;i++)
if(dis[q[i].s]>dis[q[i].e]-2)
{
dis[q[i].s]=dis[q[i].e]-2;
flag=1;
}
for(i=low;i<high;i++)
if(dis[i+1]>dis[i]+1)
{
dis[i+1]=dis[i]+1;
flag=1;
}
for(i=high-1;i>=low;i--)
if(dis[i]>dis[i+1])
{
dis[i]=dis[i+1];
flag=1;
}
}
printf("%d\n",dis[high]-dis[low]);
}
return 0;
}