【转】背包问题总结（0-1背包+完全背包+多重背包）

0-1 背包

有N件物品和一个容量为m的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

void ZeroOnePack(int cost, int weight)
{
for (int i = m; i >= cost; i--)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost] + weight);
}

完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特点：每种物品都有无限件可用。



void CompletePack(int cost, int weight)
{
for (int i = cost; i <= m; i++)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost] + weight);
}

多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

特点：第i种物品最多有n[i]件可用。

注：

多重背包转换成
01 背包问题中有个二进制分解思想。

把它的件数C
用分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释

比如：7的二进制
7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数

15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四个数字

如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成7以内任意一个数，加上
0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于13的数，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了。

基于这种 思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01
背包求解了。

void MultiplePack(int cost, int weight, int amount)
{
if (cost * amount >= m)
CompletePack(cost, weight);
else
{
int k = 1;
while (k < amount)
{
ZeroOnePack(k * cost, k * weight);
amount -= k;
k *= 2;
}
ZeroOnePack(amount * cost, amount * weight);
}
}