回溯算法-8皇后问题

8皇后问题表述：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。求不同的解的个数。



解向量：(x1, x2, … , xn)

显约束：xi = 1,2, … ,n

隐约束：

   1)不同列：xi != xj

   2)不处于同一正、反对角线：|i-j| != |x(i)-x(j)|

利用递归回溯和迭代回溯两种不同的方法实现：

[code] // 皇后问题等价于求所有满足条件的子集树

public class NQueueProblem {

private int[] yPos;

private int n;

private static int sum;

public NQueueProblem(int n) {

this.n = n;

init(n);

}

private void init(int n) {

yPos = new int
;

for (int i = 0; i < n; i++) {

yPos[i] = 0;

}

}

// 递归回溯方法进行求解

// 将皇后置于第t行

private void backtrack(int t) {

if (t == n) {

sum++;

//输出当前解

printSolution();

} else {

for (int j = 0; j < n; j++) {

yPos[t] = j; // 皇后放置在第t行j列

if (isPlace(t)) {

// 考虑第t+1行

backtrack(t + 1);

}

}

}

}

// 迭代回溯实现

// 采用树的非递归深度优先遍历算法，将回溯法表示为一个非递归迭代过程

private void iterativeBacktrack() {

int t = 0; //从第0行开始迭代

yPos[t] = -1;

while (t>=0) {

yPos[t] += 1; // 向右移一列

/* 向右移至出最右列或可以放置皇后的列 */

while ((yPos[t] <n) && !(isPlace(t))) {

yPos[t] += 1;

}

// 向右移未移出棋盘

if (yPos[t] < n)

{

// 已移至最后一行

if (t == n-1) {

   sum++;  

   printSolution();

} 

else {

/* 向下移一行 */

t++;

  yPos[t] = -1;

}

} 

else {

// 即yPos[t]>n, 迭代到最后一列仍无解，则回溯到前一行

t--;

}

}

}

private boolean isPlace(int t) {

for (int i = 0; i < t; i++) {

if ((Math.abs(i - t) == Math.abs(yPos[i] - yPos[t]))

|| (yPos[i] == yPos[t])) {

return false;

}

}

return true;

}

void printSolution() {

for (int i = 0; i < n; i++) {

System.out.print("[" + i + "," + yPos[i] + "]" + " ");

if (i == n - 1) {

System.out.println();

}

}

}

public static void main(String[] args) {

NQueueProblem queen = new NQueueProblem(8);

System.out.println("递归回溯结果");

queen.backtrack(0);

System.out.println("迭代回溯结果");

queen.iterativeBacktrack();

}

}

[/code]

另外附上一种快速位运算,运算速度显著提高.

[code] public class Queen_Fastest {

public static int sum = 0, upperlimit = 1;

//放皇后时,从右到左递归放(右边是低位,左边是高位)

/**

* 三个参数每一位代表一列,bit为1的位置不能放置皇后(与上面放置的皇后在45度角或垂直方向上有冲突)

* @param row 位为1的列说明上面某一行在此列己放置一个皇后

* @param ld 位为1的说明对应的左上角线己有皇后

* @param rd 位为1的说明对应的右上角线己有皇后

*/

public static void compute(int row, int ld, int rd) {

if (row != upperlimit) {

    int pos = upperlimit & ~(row | ld | rd);

    //对当前行所有可以放置皇后的地方放置一个皇后,然后进入下一行

    while (pos != 0)

{

   int p = pos & -pos;    //取得最右边可放置皇后的位置

   pos -= p;//在去掉这个位置,说明这个位置己以测试过

   //放置下一行的皇后,修改三个参数垂直与45度角上以前放置皇后点据的下一行的位置

   compute(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);

}

} else //row所有列都为1,说明己成功得到一个方案

sum++;

}

public static void main(String[] args) {

Calendar start;

int n = 8;

if (args.length > 0)

    n = Integer.parseInt(args[0]);

start = Calendar.getInstance();

if ((n < 1) || (n > 32)) {

    System.out.println(" 只能计算1-32之间\n");

    return;

}

System.out.println(n + " 皇后\n");

upperlimit = (upperlimit << n) - 1;

compute(0, 0, 0);

System.out.println("共有" + sum + "种排列, 计算时间"

   + (Calendar.getInstance().getTimeInMillis() - start.getTimeInMillis()) + "毫秒 \n");

}

}

[/code]

移位运算:http://vipan.com/htdocs/bitwisehelp.html